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题目

思路

这个“数”的比较，复杂度是很高的。如果我们可以$\text{hash}$一下，那么就会变的很简单。

而且，更有意思的是，我们的新“数”是在原有的“数”的基础上产生的，就可以充分利用原有的$\text{hash}$值。

我们用平衡树中的每一个点代表一个当前存在的“数”。即，键值为“数”。当然，满足平衡树的基本性质，中序遍历不降。对于这样一个平衡树，我们很容易的就能写出其$\text{hash}$值。为方便保存，我们用一个有序数对$(a,b)$来描述一个“数”（$a,b\in \mathbb{R}$）。

现在的问题是新的一个“数”。这样的一个“数”，可以利用原有的$\text{hash}$值，将其写为$(a,b)$（$a,b\in \mathbb{R}$）。而已经在平衡树中的“数”，我们也用的同样的方法保存，所以可以轻松的$\mathcal{O}(1)$比较。这样一来，我们就$\mathcal{O}(\log n)$的找到了应当插入的点。

糟糕的事情到了！新插入的点会导致整个子树的$\text{hash}$值发生变化！

但是不怕，我们有 重量平衡树$\text{treap}$ 来解决问题。

小知识：重量平衡树。满足每次基本操作影响到的子树大小的 最坏情况$/$均摊$/$期望 为$\mathcal{O}(\log n)$。其中著名的有替罪羊与$treap$（期望的计算，可以通过枚举到达哪一层来实现，概率为“修正值$fix$是当前子树的最大值”，即$\frac{1}{size}$，而影响的大小为$size$，故期望为树高，即$\mathcal{O}(\log n)$）。

然后就搞定了！但是$\text{hash}$值的改变，会导致某些点的$(a,b)$发生改变——$(a,b)$的本质是，$first=$“数”$a,second=$“数”$b$的一个“数”。如果$a$的$\text{hash}$值改变了，我就得跟着改变。这样一来，复杂度又不正确了。

所以我们不再使用$(a,b)(a,b\in \mathbb{R})$，转而使用$(a,b)(a,b\in \mathbb{Z}\cap [0,k])$，其中$k$是平衡树的节点数量。也就是说，我们不再使用$\text{hash}$值，而是根据“数”的定义，将一个“数”表示为另外两个“数”。可以让$a=0$或者$b=0$，表示“数”$0$。

然后我们就可以暴力维护了。时间复杂度$\mathcal{O}(n\log n)$。

代码

此处仅提供$insert$的伪代码作为参考。

int id[]; // a_i对应平衡树中的id[i]节点 double f[]; // 每个平衡树节点的hash值 void treap::insert(pair p){   	当前处理到了节点o	if(o == 0){   		o = newNode(p.first,p.second);		return ; // 建新点，数据为p 	}	if(make_pair(f[data[o][0]],f[data[o][1]]) < make_pair(f[p.first],f[p.second])		insert(右子树); // 数据都存储的是两个节点编号 	else insert(左子树);}void insert(int l,int r,int k){   	treap.insert(make_pair(id[l],id[r]));	将f进行调整 /* 可以使用类似线段树的方法，给每个节点一个开区间值域(L,R)，然后 	该点的hash值取mid=(L+R)/2，然后左右子树递归为(L,mid)与(mid,R) */	id[k] = cntNode; // cntNode是新申请的节点（即刚刚插入的节点） }

然后对于平衡树，可以维护一个最大的$hash$值（和其对应的$a$的下标）。

$a$的下标，可以通过每一个点都存储一下做到。也就是说，

data[o][2] = index; // index是参数，对应的下标 

MD我也只能口胡，我真的打不出来