在 A-Level 物理课程中，简谐振动是一个很重要的知识点。根据定义，凡是加速度和偏离平衡位置的位移之间有大小成正比、方向相反关系的运动，就被称作为简谐振动（simple harmonic oscillation）。这个定义可以写成一个简单明了的方程式：

给定初始条件，就可以解出位移随时间变化的函数关系，通常会被表示为如下的形式：

从定义式直接省略 3000 字跳到这个通解，你只需要三件东西：一个懒得跟你多废话的物理老师，一本觉得跟你扯闲话就能把你整明白的物理教材，以及对必要的推导过程不作要求的考试大纲。

下面我们将会看到，想要推导简谐振子的运动方程，其实你需要的只是一些非常基础的数学知识。好叻，我们开始推倒推导吧！

解法一：二阶微分方程标准解法

注意到微分方程

我们在小学四年级就学到过的指数函数了。于是我们可以猜想方程的解会具有形如

于是待定系数

符合原方程的通解现在可以写作：

复数函数是我们在小学三年级时就已经学过的基础数学知识。我们知道，这个位移只有取实数值才有物理意义。我们限定

由此得到两个常系数之间满足关系：

我们不妨重新将常数写作：

利用我们小学五年级就熟悉的欧拉公式：

如果我们重新定义新的常数

解法二：利用运动学公式作积分变换

利用小学三年级的科学课堂里大家已经知道的位移、速度、加速度的关系，以及非常基础的链式求导法则（chain rule），我们就可以得到：

代入简谐振子的定义公式

两边积分，可以得到关于速度

我们要面对的方程，已经降次变成了一个

在小学六年级时早就对这类方程的解法烂熟于胸，我们可以分离变量，再两边积分。

左边的积分是你上幼儿园的弟弟都知道怎么做的，结果就是

一些到了初中才会学到的积分换元法。

用三角换元，令

其中

我们重新定义常数

幼儿园就学过的 cosine 函数的偶函数性质，上面的解可以最终写成如下更为人所熟知的形式：