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简介

    差分进化算法(Differential Evolution，DE)由Storn和Price于1995年首次提出。主要用于求解实数优化问题。该算法是一类基于群体的自适应全局优化算法，属于演化算法的一种，由于其具有结构简单、容易实现、收敛快速、鲁棒性强等特点，因而被广泛应用在数据挖掘、模式识别、数字滤波器设计、人工神经网络、电磁学等各个领域。1996年在日本名古屋举行的第一届国际演化计算(ICEO)竞赛中，差分进化算法被证明是速度最快的进化算法。

1. 算法原理

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    DE算法通过采用浮点矢量进行编码生成种群个体。在DE算法寻优的过程中，首先，从父代个体间选择两个个体进行向量做差生成差分矢量;其次，选择另外一个个体与差分矢量求和生成实验个体;然后，对父代个体与相应的实验个体进行交叉操作，生成新的子代个体;最后在父代个体和子代个体之间进行选择操作，将符合要求的个体保存到下一代群体中去。

2. 算法流程

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假设优化模型如下：

$$\begin{array}{l}\min f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_D\right)\\ \text{ s.t }{x}_j^L⩽x_j⩽x_j^U,j=1,2,\cdots ,D\end{array}$$ $where$，D是解空间的维度，$x_j^L$、$x_j^U$分别表示第j个分量$x_j$取值范围的上界和下界。

2.1 初始化种群

初始化种群为： $$\{$$

xi​(0)∣xj,iL​⩽xj,i​(0)⩽xj,iv​,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D} 由下式随机生成各种群个体： $$x_{j,i}(0)=x_{j,i}^L+rand(0,1)\cdot \left(x_{j,i}^U-x_{j,i}^L\right)$$ $where$，$x_i(0)$表示种群中第0代的第i个个体，$x_{j,i}(0)$表示第0代的第i个个体的第j个基因。NP表示种群大小，$rand(0,1)$表示在（0，1）区间均匀分布的随机数。

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2.2 变异

    差分进化算法与遗传算法最显著的区别在于DE的个体变异是通过差分策略实现的。

常用的差分策略如下：

$$\begin{array}{c}{\nu }_i(g+1)=x_{i_1}(g)+F\cdot \left(x_i(g)-x_{ij}(g)\right)\\ i\ne r_1\ne r_2\ne r_3\end{array}$$

$where$，$F$为缩放因子，$x_i(g)$为第g代种群中第i个个体。

即通过随机选取种群中两个不同的个体，将其向量差缩放后与待变异个体进行向量合成。

    在进化过程中，必须保证新生成的解的有效性，因此必须判断生成的解是否满足边界条件，如果不满足，则需要重新生成（生成方案与初始种群相同）。

第g代种群：$$\{$$

xi​(g)∣xj,iL​⩽xj,i​(g)⩽xj,iv​,i=1,2,⋯,NP;j=1,2,⋯,D} 变异后的中间体：第g代种群：$$\left\{x_i(g+1)|x_{j,i}^L⩽x_{j,i}(g+1)⩽x_{j,i}^v,i=1,2,\cdots ,NP;j=1,2,\cdots ,D\right\}$$

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2.3 交叉

    使用第g代种群和其变异中间体进行交叉：

$$\begin{array}{r}{u}_{j,i}(g+1)=\{\end{array}$$

vj,i​(g+1),xj,i​(g),​ if rand(0,1)⩽CR or j=jrand​ otherwise ​​ $where$，CR为交叉概率，$j_{rand}$为[1,2,……,D]的随机整数。

    上图为6个基因位的“染色体”或称为“个体”的交叉操作示意图。为了确保变异中间体{ $v_{j,i}(g+1)$}的每个“染色体”至少有一个“基因”遗传给下一代，第一个交叉操作的基因是随机选择$v_{j,i}(g+1)$的第$j_{rand}$作为交叉后的个体$u_{j,i}(g+1)$第$j_{rand}$位的等位基因。后续的交叉操作则是通过交叉概率CR来选取$x_i(g)$还是$v_i(g+1)$的等位基因作为$u_i(g+1)$的等位基因。

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2.4 选择

    采用贪婪算法来选择下一代种群个体：

$$x_i(g+1)=\{\begin{array}{ll}{u}_i(g+1),& \text{ if }f\left(u_i(g+1)\right)⩽f\left(x_i(g)\right)\\ x_i(g),& \text{ otherwise }\end{array}$$

3. 算法代码

3.1 伪代码

3.2 matlab

4. 参数控制

    DE算法主要的控制参数包括：种群规模(NP)、缩放因子(F)和交叉概率(CR)。

4.1 参数说明

• NP主要反映算法中种群信息量的大小，NP值越大种群信息包含的越丰富，但是带来的后果就是计算量变大，不利于求解。反之，使种群多样性受到限制，不利于算法求得全局最优解，甚至会导致搜索停滞。

• CR主要反映的是在交叉的过程中，子代与父代、中间变异体之间交换信息量的大小程度。CR的值越大，信息量交换的程度越大。反之，如果CR的值偏小，将会使种群的多样性快速减小，不利于全局寻优。

• 相对于CR，F对算法性能的影响更大，F主要影响算法的全局寻优能力。F越小，算法对局部的搜索能力更好，F越大算法越能跳出局部极小点，但是收敛速度会变慢。此外，F还影响种群的多样性

4.2 参数选择

• M：一般介于5n到10n之间，但不能少于4，否则变异算则无法进行
• F：一般在[0,2]，通常取0.5
• CR：[0,1]，通常取0.3.CR越大，收敛速度越快，但易发生早熟现象。

5. 改进方法

• 基本DE算法在求解的过程中，随着进化代数的增加，会使种群的多样性变小，过早的收敛到局部极小点，或者致使算法停滞，这对依靠种群差异来进行进化的算法来说无疑是致命的，使算法的性能在进化的过程中变差。

• 为了解决基本DE算法的上述缺陷，针对DE算法的特点，目前主要的改进方法是针对进化模式和控制参数的优化，还有一些改进方法是将DE算法与其他一些智能算法进行结合仲用。

5.1 自适应变异算子

    为了避免早熟，增加自适应变异算子。算子算法如下：

$$\begin{array}{l}\lambda =e^{1-\frac{G_m}{G_m+1-G}}\\ F=F_0\cdot 2^2\end{array}$$ $where$，$F_0$为变异算子；$G_m$为最大进化代数；$G$为当前进化代数。

    算法开始时，自适应算子$F=F_0$~$2F_0$。具有较大值时，初期保持个体多样性，避免早熟，随着算法进度的不断变化，变异算子的值逐步降低，后期变异率接近$F_0$，保留优良信息，避免最优解遭到破坏，增加搜索到全局最优解的概率。

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