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• 一种无监督学习方法，主要用于文本的话题分析
• 其特点是通过矩阵分解发现文本与单词之间的基于话题的语义关系
• 最初应用于文本信息检索，也被称为潜在语义索引（latent semantic indexing，LSI），在推荐系统、图像处理、生物信息学等领域也有广泛应用

文本信息处理中：

• 传统的方法以单词向量表示文本的语义内容，以单词向量空间的度量表示文本之间的语义相似度
• 潜在语义分析 旨在 解决这种方法不能准确表示语义的问题，试图从大量的文本数据中发现潜在的话题
• 以话题向量表示文本的语义内容，以话题向量空间的度量更准确地表示文本之间的语义相似度

潜在语义分析使用的是非概率的话题分析模型

• 将文本集合表示为单词-文本矩阵
• 对单词-文本矩阵进行奇异值分解，从而得到话题向量空间，以及文本在话题向量空间的表示

非负矩阵分解（non-negative matrix factorization，NMF）是另一种矩阵的因子分解方法，其特点是分解的矩阵非负。非负矩阵分解也可以用于话题分析。

1. 单词向量空间、话题向量空间

1.1 单词向量空间

文本信息处理的一个核心问题是对文本的语义内容进行表示，并进行文本之间的语义相似度计算。

• 利用向量空间模型（vector space model，VSM），也就是单词向量空间模型（word vector space model）。
• 基本想法：用一个向量表示文本的“语义”，向量的每一维对应一个单词，其数值为该单词在该文本中出现的频数或权值
• 基本假设：
  文本中所有单词的出现情况表示了文本的语义内容；
  文本集合中的每个文本都表示为一个向量，存在于一个向量空间；
  向量空间的度量，如内积或标准化内积表示文本之间的“语义相似度”。

• 单词文本矩阵是稀疏矩阵，元素为频数或权值
• 权值：常用单词频率-逆文本频率（term frequency-inverse document frequency，TF-IDF）表示，其定义是

• 是模型简单，计算效率高。因为单词向量通常是稀疏的，两个向量的内积计算只需要在其同不为零的维度上进行即可，需要的计算很少，可以高效地完成

单词向量空间模型也有一定的局限性：

• 内积相似度未必能够准确表达两个文本的语义相似度上
• 因为自然语言的单词具有一词多义性（polysemy）及多词一义性（synonymy），所以基于单词向量的相似度计算存在不精确的问题

1.2 话题向量空间

话题（topic），就是指文本所讨论的内容或主题。

• 一个文本一般含有若干个话题
• 如果两个文本的话题相似，那么两者的语义应该也相似
• 话题由若干个语义相关的单词表示
• 同义词（如“airplane”与“aircraft”）可以表示同一个话题
• 而多义词（如“apple”）可以表示不同的话题

这样，基于话题的模型就可以解决上述基于单词的模型存在的问题。

定义一种话题向量空间模型（topic vector space model）

• 给定一个文本，用话题空间的一个向量表示该文本，该向量的每一分量对应一个话题，其数值为该话题在该文本中出现的权值
• 用两个向量的内积或标准化内积表示对应的两个文本的语义相似度
• 注意话题的个数通常远远小于单词的个数，话题向量空间模型更加抽象
• 潜在语义分析正是构建话题向量空间的方法（即话题分析的方法）
• 单词向量空间模型与话题向量空间模型互为补充，两者可以同时使用

单词-文本矩阵$X$ 近似为：单词-话题矩阵$T$ & 话题-文本矩阵$Y$ 的乘积形式，$X\approx TY$

2. 潜在语义分析算法

潜在语义分析 利用 ，对单词-文本矩阵进行奇异值分解

• 左矩阵 作为话题向量空间
• 对角矩阵 与 右矩阵的乘积 作为 文本在话题向量空间的表示

潜在语义分析 根据 确定的话题个数k 对单词-文本矩阵$X$进行截断奇异值分解

2.1 例子

3. 非负矩阵分解算法

非负矩阵分解 也可以用于 话题分析

• 对单词-文本矩阵进行非负矩阵分解
• 左矩阵作为话题向量空间
• 右矩阵作为文本在话题向量空间的表示。注意通常单词-文本矩阵是非负的（所有元素 >= 0）

定义：找到两个非负矩阵乘积近似表示一个非负矩阵

非负矩阵分解 可以表为以下的最优化问题：

非负矩阵分解的算法是迭代算法

• 乘法更新规则的迭代算法，交替地对$W$和$H$进行更新。
• 本质是梯度下降法，通过定义特殊的步长和非负的初始值，保证迭代过程及结果的矩阵$W$和$H$均为非负

4. TruncatedSVD 潜在语义分析实践

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