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排序算法分类
排序算法比较表格填空
排序算法 | 平均时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 空间复杂度 | 是否稳定 |
---|---|---|---|---|
冒泡排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
选择排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
直接插入排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
归并排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
快速排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
堆排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
希尔排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
计数排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
基数排序 | :————-: | :—–: | :—–: | :—–: |
排序算法比较表格
排序算法 | 平均时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 空间复杂度 | 是否稳定 |
---|---|---|---|---|
冒泡排序 | O(n2)O(n2) | O(n2)O(n2) | O(1)O(1) | 是 |
选择排序 | O(n2)O(n2) | O(n2)O(n2) | O(1)O(1) | 不是 |
直接插入排序 | O(n2)O(n2) | O(n2)O(n2) | O(1)O(1) | 是 |
归并排序 | O(nlogn)O(nlogn) | O(nlogn)O(nlogn) | O(n)O(n) | 是 |
快速排序 | O(nlogn)O(nlogn) | O(n2)O(n2) | O(logn)O(logn) | 不是 |
堆排序 | O(nlogn)O(nlogn) | O(nlogn)O(nlogn) | O(1)O(1) | 不是 |
希尔排序 | O(nlogn)O(nlogn) | O(ns)O(ns) | O(1)O(1) | 不是 |
计数排序 | O(n+k)O(n+k) | O(n+k)O(n+k) | O(n+k)O(n+k) | 是 |
基数排序 | O(N∗M)O(N∗M) | O(N∗M)O(N∗M) | O(M)O(M) | 是 |
注:
1 归并排序可以通过手摇算法将空间复杂度降到O(1),但是时间复杂度会提高。
2 基数排序时间复杂度为O(N*M),其中N为数据个数,M为数据位数。
辅助记忆
- 时间复杂度记忆-
- 冒泡、选择、直接 排序需要两个for循环,每次只关注一个元素,平均时间复杂度为O(n2)O(n2)(一遍找元素O(n)O(n),一遍找位置O(n)O(n))
- 快速、归并、希尔、堆基于二分思想,log以2为底,平均时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)(一遍找元素O(n)O(n),一遍找位置O(logn)O(logn))
- 稳定性记忆-“快希选堆”(快牺牲稳定性)
- 排序算法的稳定性:排序前后相同元素的相对位置不变,则称排序算法是稳定的;否则排序算法是不稳定的。
原理理解
1 冒泡排序
1.1 过程
冒泡排序从小到大排序:一开始交换的区间为0~N-1,将第1个数和第2个数进行比较,前面大于后面,交换两个数,否则不交换。再比较第2个数和第三个数,前面大于后面,交换两个数否则不交换。依次进行,最大的数会放在数组最后的位置。然后将范围变为0~N-2,数组第二大的数会放在数组倒数第二的位置。依次进行整个交换过程,最后范围只剩一个数时数组即为有序。
1.2 动图
1.3 核心代码(函数)
//array[]为待排序数组,n为数组长度void BubbleSort(int array[], int n){ int i, j, k; for(i=0; iarray[j+1]) { k=array[j]; array[j]=array[j+1]; array[j+1]=k; } }}
2 选择排序
2.1 过程
选择排序从小到大排序:一开始从0~n-1区间上选择一个最小值,将其放在位置0上,然后在1~n-1范围上选取最小值放在位置1上。重复过程直到剩下最后一个元素,数组即为有序。
2.2 动图
2.3 核心代码(函数)
//array[]为待排序数组,n为数组长度void selectSort(int array[], int n){ int i, j ,min ,k; for( i=0; iarray[j]) { min=j; } } if(min!=i) { k=array[min]; array[min]=array[i]; array[i]=k; } }}
3 插入排序
3.1 过程
插入排序从小到大排序:首先位置1上的数和位置0上的数进行比较,如果位置1上的数大于位置0上的数,将位置0上的数向后移一位,将1插入到0位置,否则不处理。位置k上的数和之前的数依次进行比较,如果位置K上的数更大,将之前的数向后移位,最后将位置k上的数插入不满足条件点,反之不处理。
3.2 动图
3.3 核心代码(函数)
//array[]为待排序数组,n为数组长度void insertSort(int array[], int n){ int i,j,temp; for( i=1;itemp;j--) { array[j]=array[j-1]; } array[j]=temp; } }}
4 归并排序
4.1 过程
归并排序从小到大排序:首先让数组中的每一个数单独成为长度为1的区间,然后两两一组有序合并,得到长度为2的有序区间,依次进行,直到合成整个区间。
4.2 动图
4.3 核心代码(函数)
- 递归实现
实现归并,并把数据都放在list1里面 void merging(int *list1, int list1_size, int *list2, int list2_size){ int i=0, j=0, k=0, m=0; int temp[MAXSIZE]; while(i < list1_size && j < list2_size) { if(list1[i]1) { int *list1 = array; int list1_size = n/2; int *list2 = array + n/2; int list2_size = n-list1_size; mergeSort(list1, list1_size); mergeSort(list2, list2_size); merging(list1, list1_size, list2, list2_size); }}//归并排序复杂度分析:一趟归并需要将待排序列中的所有记录 //扫描一遍,因此耗费时间为O(n),而由完全二叉树的深度可知, //整个归并排序需要进行[log2n],因此,总的时间复杂度为 //O(nlogn),而且这是归并排序算法中平均的时间性能 //空间复杂度:由于归并过程中需要与原始记录序列同样数量级的 //存储空间去存放归并结果及递归深度为log2N的栈空间,因此空间 //复杂度为O(n+logN) //也就是说,归并排序是一种比较占内存,但却效率高且稳定的算法
- 迭代实现
void MergeSort(int k[],int n) { int i,next,left_min,left_max,right_min,right_max; //动态申请一个与原来数组一样大小的空间用来存储 int *temp = (int *)malloc(n * sizeof(int)); //逐级上升,第一次比较2个,第二次比较4个,第三次比较8个。。。 for(i=1; in) { right_max = n; } //next是用来标志temp数组下标的,由于每次数据都有返回到K, //故每次开始得重新置零 next = 0; //如果左边的数据还没达到分割线且右边的数组没到达分割线,开始循环 while(left_min 0) { //把排好序的那部分数组返回该k k[--right_min] = temp[--next]; } } } } //非递归的方法,避免了递归时深度为log2N的栈空间,//空间只是用到归并临时申请的跟原来数组一样大小的空间,并且在时间性能上也有一定的提升,//因此,使用归并排序是,尽量考虑用非递归的方法。
5 快速排序
5.1 过程
快速排序从小到大排序:在数组中随机选一个数(默认数组首个元素),数组中小于等于此数的放在左边,大于此数的放在右边,再对数组两边递归调用快速排序,重复这个过程。
5.2 动图
5.3 核心代码(函数)
推荐程序(好理解)
//接口调整void adjust_quicksort(int k[],int n) { quicksort(k,0,n-1); } void quicksort(int a[], int left, int right) { int i,j,t,temp; if(left>right) //(递归过程先写结束条件) return; temp=a[left]; //temp中存的就是基准数 i=left; j=right; while(i!=j) { //顺序很重要,要先从右边开始找(最后交换基准时换过去的数要保证比基准小,因为基准 //选取数组第一个数,在小数堆中) while(a[j]>=temp && i
6 堆排序
6.1 过程
堆排序从小到大排序:首先将数组元素建成大小为n的大顶堆,堆顶(数组第一个元素)是所有元素中的最大值,将堆顶元素和数组最后一个元素进行交换,再将除了最后一个数的n-1个元素建立成大顶堆,再将最大元素和数组倒数第二个元素进行交换,重复直至堆大小减为1。
-
注:完全二叉树 假设二叉树深度为n,除了第n层外,n-1层节点都有两个孩子,第n层节点连续从左到右。如下图
-
注:大顶堆 大顶堆是具有以下性质的完全二叉树:每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值。 即,根节点是堆中最大的值,按照层序遍历给节点从1开始编号,则节点之间满足如下关系: (1<=i<=n/2)
6.2 动图
6.3 核心代码(函数)
注意!!!数组从1开始,1~n
void heapSort(int array[], int n){ int i; for (i=n/2;i>0;i--) { HeapAdjust(array,i,n);//从下向上,从右向左调整 } for( i=n;i>1;i--) { swap(array, 1, i); HeapAdjust(array, 1, i-1);//从上到下,从左向右调整 }}void HeapAdjust(int array[], int s, int n ){ int i,temp; temp = array[s]; for(i=2*s;i<=n;i*=2) { if(i=array[i]) { break; } array[s]=array[i]; s=i; } array[s]=temp;}void swap(int array[], int i, int j){ int temp; temp=array[i]; array[i]=array[j]; array[j]=temp;}
7 希尔排序
7.1 过程
希尔排序是插入排序改良的算法,希尔排序步长从大到小调整,第一次循环后面元素逐个和前面元素按间隔步长进行比较并交换,直至步长为1,步长选择是关键。
7.2 动图
7.3 核心程序(函数)
//下面是插入排序void InsertSort( int array[], int n){ int i,j,temp; for( i=0;itemp;j--) { array[j+1]=array[j]; } array[j+1]=temp; } }}//在插入排序基础上修改得到希尔排序void SheelSort( int array[], int n){ int i,j,temp; int gap=n; //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ do{ gap=gap/3+1; //~~~~~~~~~~~~~~~~~~ for( i=gap;i temp;j-=gap) { array[j+gap]=array[j]; } array[j+gap]=temp; } } }while(gap>1); //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}
8 桶排序(基数排序和基数排序的思想)
8.1 过程
桶排序是计数排序的变种,把计数排序中相邻的m个”小桶”放到一个”大桶”中,在分完桶后,对每个桶进行排序(一般用快排),然后合并成最后的结果。
8.2 图解
8.3 核心程序
#includeint main(){ int a[11],i,j,t; for(i=0;i<=10;i++) a[i]=0; //初始化为0 for(i=1;i<=5;i++) //循环读入5个数 { scanf("%d",&t); //把每一个数读到变量t中 a[t]++; //进行计数(核心行) } for(i=0;i<=10;i++) //依次判断a[0]~a[10] for(j=1;j<=a[i];j++) //出现了几次就打印几次 printf("%d ",i); getchar();getchar(); //这里的getchar();用来暂停程序,以便查看程序输出的内容 //也可以用system("pause");等来代替 return 0;}
9 计数排序
9.1 过程
算法的步骤如下: - 找出待排序的数组中最大和最小的元素 - 统计数组中每个值为i的元素出现的次数,存入数组C的第i项 - 对所有的计数累加(从C中的第一个元素开始,每一项和前一项相加) - 反向填充目标数组:将每个元素i放在新数组的第C(i)项,每放一个元素就将C(i)减去1
9.2 图解
9.3 核心程序(函数)
程序1:#define NUM_RANGE (100) //预定义数据范围上限,即K的值void counting_sort(int *ini_arr, int *sorted_arr, int n) //所需空间为 2*n+k{ int *count_arr = (int *)malloc(sizeof(int) * NUM_RANGE); int i, j, k; //初始化统计数组元素为值为零 for(k=0; k=0; j--){ int elem = ini_arr[j]; //取待排序元素 int index = count_arr[elem]-1; //待排序元素在有序数组中的序号 sorted_arr[index] = elem; //将待排序元素存入结果数组中 count_arr[elem]--; //修正排序结果,其实是针对算得元素的修正 } free(count_arr); } 程序2:C++(最大最小压缩桶数)public static void countSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } int min = arr[0]; int max = arr[0]; for (int i = 1; i < arr.length; i++) { min = Math.min(arr[i], min); max = Math.max(arr[i], max); } int[] countArr = new int[max - min + 1]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { countArr[arr[i] - min]++; } int index = 0; for (int i = 0; i < countArr.length; i++) { while (countArr[i]-- > 0) { arr[index++] = i + min; }}
10 基数排序
10.1 过程
基数排序是基于数据位数的一种排序算法。 它有两种算法 ①LSD–Least Significant Digit first 从低位(个位)向高位排。 ②MSD– Most Significant Digit first 从高位向低位(个位)排。 时间复杂度O(N*最大位数)。 空间复杂度O(N)。
10.2 图解
对a[n]按照个位0~9进行桶排序: 对b[n]进行累加得到c[n],用于b[n]中重复元素计数 !!!b[n]中的元素为temp中的位置!!!跳跃的用++补上: temp数组为排序后的数组,写回a[n]。temp为按顺序倒出桶中的数据(联合b[n],c[n],a[n]得到),重复元素按顺序输出:
10.3 核心程序
//基数排序 //LSD 先以低位排,再以高位排 //MSD 先以高位排,再以低位排 void LSDSort(int *a, int n) { assert(a); //判断a是否为空,也可以a为空||n<2返回 int digit = 0; //最大位数初始化 for (int i = 0; i < n; ++i) { //求最大位数 while (a[i] > (pow(10,digit))) //pow函数要包含头文件math.h,pow(10,digit)=10^digit { digit++; } } int flag = 1; //位数 for (int j = 1; j <= digit; ++j) { //建立数组统计每个位出现数据次数(Digit[n]为桶排序b[n]) int Digit[10] = { 0 }; for (int i = 0; i < n; ++i) { Digit[(a[i] / flag)%10]++; //flag=1时为按个位桶排序 } //建立数组统计起始下标(BeginIndex[n]为个数累加c[n],用于记录重复元素位置 //flag=1时,下标代表个位数值,数值代表位置,跳跃代表重复) int BeginIndex[10] = { 0 }; for (int i = 1; i < 10; ++i) { //累加个数 BeginIndex[i] = BeginIndex[i - 1] + Digit[i - 1]; } //建立辅助空间进行排序 //下面两条可以用calloc函数实现 int *tmp = new int[n]; memset(tmp, 0, sizeof(int)*n);//初始化 //联合各数组求排序后的位置存在temp中 for (int i = 0; i < n; ++i) { int index = (a[i] / flag)%10; //桶排序和位置数组中的下标 //计算temp相应位置对应a[i]中的元素,++为BeginIndex数组数值加1 //跳跃间隔用++来补,先用再++ tmp[BeginIndex[index]++] = a[i]; } //将数据重新写回原空间 for (int i = 0; i < n; ++i) { a[i] = tmp[i]; } flag = flag * 10; delete[] tmp; } }
附:
1 完整程序框架(冒泡排序举例)
1.1 VS2010程序
#include "stdafx.h"#include "stdio.h"#includevoid BubbleSort(int array[], int n){ int i,j,k,count1=0, count2=0; for(i=0; i i; j--) { count1++; if(array[j-1]>array[j]) { count2++; k=array[j-1]; array[j-1]=array[j]; array[j]=k; } } printf("总共的循环次序为:%d, 总共的交换次序为:%d\n\n", count1, count2);}int main(int argc, _TCHAR* argv[]){ int as[]={0,1,2,3,4,6,8,5,9,7}; BubbleSort(as, 10); for(int i=0; i<10; i++) { printf("%d", as[i]); } printf("\n\n"); system("pause"); return 0;}
1.2 执行程序(OJ)
#includevoid BubbleSort(int array[], int n){ int i,j,k,count1=0, count2=0; for(i=0; i i; j--) { count1++; if(array[j-1]>array[j]) { count2++; k=array[j-1]; array[j-1]=array[j]; array[j]=k; } } printf("总共的循环次序为:%d, 总共的交换次序为:%d\n\n", count1, count2);}int main(){ int as[]={0,1,2,3,4,6,8,5,9,7}; BubbleSort(as, 10); int i=0; for(i=0; i<10; i++) { printf("%d", as[i]); } return 0;}
2 关于交换的优化
不用中间变量进行交换
if(A[j] <= A[i]){ A[j] = A[j] + A[i]; A[i] = A[j] - A[i]; A[j] = A[j] - A[i];}
3 C语言实现数组动态输入
#include#include //断言头文件#include int main(int argc, char const *argv[]) { int size = 0; scanf("%d", &size); //首先输入数组个数 assert(size > 0); //判断数组个数是否非法 int *array = (int *)calloc(size, sizeof(int)); //动态分配数组 if(!R1) { return; //申请空间失败 } int i = 0; for (i = 0; i < size; ++i) { scanf("%d", &array[i]); } mergeSort(array, size); printArray(array, size); free(array); return 0; }
注: 1.colloc与malloc类似,但是主要的区别是存储在已分配的内存空间中的值默认为0,使用malloc时,已分配的内存中可以是任意的值. 2.colloc需要两个参数,第一个是需要分配内存的变量的个数,第二个是每个变量的大小.
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