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一.KMP算法
KMP算法应该是每一本《数据结构》书都会讲的,算是知名度最高的算法之一,KMP是三位大牛:D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的。取了每个人的第一个字母所以叫KMP咯。
KMP算法要解决的问题就是在字符串(也叫主串)中的模式(pattern)定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字(接下来称它为P),如果它在一个主串(接下来称为T)中出现,就返回它的具体位置,否则返回-1(常用手段)。在这里我们如果采用暴力的解法进行求解,那么它的时间复杂度为O(m*n)。
所以三位大佬开始挖掘我们要匹配的子串的规律,从而来控制但匹配不成功是的移动长度也就是next数组了。这时的时间复杂度变为了O(m+n)。
在KMP算法中最重要的也就是去求解next数组。
二.
我们首先用一个图来描述kmp算法的思想。在字符串O中寻找f,当匹配到位置i时两个字符串不相等,这时我们需要将字符串f向前移动。常规方法是每次向前移动一位,但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实,所以效率不高。事实上,如果我们提前计算某些信息,就有可能一次前移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以前移k位,我们分析移位前后的f有什么特点。我们可以得到如下的结论
A段字符串是f的一个前缀。
B段字符串是f的一个后缀。 A段字符串和B段字符串相等。所以前移k位之后,可以继续比较位置i的前提是f的前i-1个位置满足:长度为i-k-1的前缀A和后缀B相同。只有这样,我们才可以前移k位后从新的位置继续比较。
所以kmp算法的核心即是计算字符串f每一个位置之前的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度(不包括字符串本身,否则最大长度始终是字符串本身)。获得f每一个位置的最大公共长度之后,就可以利用该最大公共长度快速和字符串O比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时,我们就可以根据最大公共长度将字符串f向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位,接着继续比较下一个位置。事实上,字符串f的前移只是概念上的前移,只要我们在比较的时候从最大公共长度之后比较f和O即可达到字符串f前移的目的。
三. next数组计算
理解了kmp算法的基本原理,下一步就是要获得字符串f每一个位置的最大公共长度。这个最大公共长度在算法导论里面被记为next数组。在这里要注意一点,next数组表示的是长度,下标从1开始;但是在遍历原字符串时,下标还是从0开始。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i],分别表示长度为1到i的字符串的前缀和后缀最大公共长度,现在要求next[i+1]。由上图我们可以看到,如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同(下标从零开始),则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同,我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割,获得其最大公共长度next[next[i]],然后再和位置i的字符比较。这是因为长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成上部的构造,如果位置next[next[i]]和位置i的字符相同,则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等,就可以继续分割长度为next[next[i]]的字符串,直到字符串长度为0为止。更加形象的表示以如下的形式进行演示:
四.代码
#KMP算法#首先计算next数组,即我们需要怎么去移位#接着我们就是用暴力解法求解即可#next是用递归来实现的#这里是用回溯进行计算的def calNext(str2): i=0 next=[-1] # 第一个值k是-1, j=-1 while(i=len(s2)): return i -len(s2)#说明匹配到最后了 else: return 0s1 = "acabaabaabcacaabc"s2 = "abaabcac"print(KMP(s1,s2))
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