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前言

听到博弈问题，第一个想到的想必是用SG函数做的博弈题，就比如Nim游戏

Nim游戏： 有N堆石子，每次选一堆石子，拿走若干石子（不能不取），先不能取的人输

定义个SG函数

对于SG函数，大致就记录两个东西吧

定义SG函数g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }

游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或

SG函数能解决很多问题，但是它并不是万能的。他只适用于两个玩家家能进行的操作完全相同的情况（平等博弈）

今天上午做清华集训2017day3T2，一开始以为是SG就可以做，后来因为T1、T3比较好打，所以就没打T2，下午讲题的时候听讲题的时候才知道这是不平等博弈题，所以不能使用SG函数 那么怎么做呢，听高三同学讲完了一遍，我仿佛还是在云里雾里，于是去找了2009的集训队论文方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 感觉这篇论文还是讲的挺好的，但是呢，为了让我更好的记忆，我就开始写这一系列的学习记录了

正文

不平等博弈问题（Partizan Games）有一个很好的解决方法是用 超实数（Surreal Number，高届的同学戏称其为super real number），具体的用处会在后面写到

话不多说，对于不平等博弈问题，先定义状态

一个及以下后继状态（从有理数上定义）

首先考虑每个状态都只有一个及以下的后继状态的情况

• 如果没有人能操作，那么状态为0
• 如果当前状态只有第一个玩家能进行操作，那么状态为$x$（$x$为第一个玩家连续能走的步数-[后继状态中第二个玩家是否能走]）
• 如果当前状态只有第二个玩家能进行操作，那么状态为$-x$（$x$为第二个玩家连续能走的步数-[后继状态中第一个玩家是否能走]）

我们发现，这种定义的状态对单局而言非常无脑

我们发现当状态为$0$时，一定是先手必败态 当状态不等于$0$时，我们不能直接的根据状态值判断谁必胜（证明略）

多个后继状态（引入超实数辅助定义）

如果状态的后继不止一个怎么办？

这是大部分题目里的情况，也是文章的重点 我们用超实数来概括所有的情况 定义超实数 { X ∣ Y } \{X|Y\} {

X∣Y}（本质上它是超实数，但是好理解一点可以将其当成运算），$X$是第一个玩家能执行操作的后继状态的集合，$Y$是第二个玩家能执行操作的后继状态的集合（可以是空集，这个之后会讨论），结果为当前的状态

若$X,Y$都是有限集，那么$\{$

L∣R}={

max(L)∣min(R)} 对于一个状态$l|r$，如果$l<r$那么 { l ∣ r } \{l|r\} {

l∣r}的结果: 若$l、r$之间有整数， { l ∣ r } = x \{l|r\}=x {

l∣r}=x（$l<x<r$且$x$是所有满足的数中离$0$最近的整数） 若$l、r$之间无整数， { l ∣ r } = x / y \{l|r\}=x/y {

l∣r}=x/y（$l<x/y<r$且$y=2^k(k\in {\mathbb{Z}}^{\ast })$且y是所有满足条件的数中最小的数，x是在满足前面的条件下的可取值中离$0$最近的整数

前面说到在$\{$

L∣R}的运算中，$L$或$R$会有为空集的情况 空集可以用$\Phi$表示，不过一般也用"不写任何东西"来表示，比如说 { ∣ } = 0 \{|\}=0 {

∣}=0 事实上，空集可以当做无穷（如果是左边是空集，那么可以视为是无穷小，如果右边是空集，那么可以视为是无穷大）

总结

这里的内容已经是真·简化版了

根据定义，$L|R$才是超实数，而定义这个结果，建立了博弈的实数定义与超实数的部分联系 下图为达利函数（即一个实数与超实数的对应关系） 这个东西本身就是超实数，为什么这样你可以去论文里看超实数的定义 当然如果懒的看论文，那记住这些就好了，到后面的灵活运用才是最重要的 在下一篇文章中我会讲述 { l ∣ r } \{l|r\} {

l∣r}中的特殊情况的结果，记录（一）到这里就结束了 update by 2019.1.9：对文章进行了结构调整（开头一段我进行了保留，算是对我一开始写这篇博客时的感受的纪念吧）

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