一、归并排序

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法(divide and conquer)的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

归并过程为：比较a[i]和a[j]的大小，若a[i]≤a[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；否则将第二个有序表中的元素a[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[s,t]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序，最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。

二、归并操作

三、两路归并算法

1、算法基本思路

设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上：r[low..m]，r[m+1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存向量r1(相当于输出堆)中，待合并完成后将r1复制回r[low..high]中。

(1)合并过程

合并过程中，设置i，j和p三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较r[i]和r[j]的关键字，取关键字较小的记录复制到r1[p]中，然后将被复制记录的指针i或j加1，以及指向复制位置的指针p加1。

重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到r1中即可。

(2)动态申请r1

实现时，r1是动态申请的，因为申请的空间可能很大，故须加入申请空间是否成功的处理。

2、归并算法

void merge(seqlist r，int low，int m，int high)

{//将两个有序的子文件r[low..m)和r[m+1..high]归并成一个有序的

//子文件r[low..high]

int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值

rectype *r1； //r1是局部向量，若p定义为此类型指针速度更快

r1=(reetype *)malloc((high-low+1)*sizeof(rectype))；

if(! r1) //申请空间失败

error("insufficient memory available!")；

while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到r1[p]上

r1[p++]=(r[i].key<=r[j].key)?r[i++]：r[j++]；

while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到r1中

r1[p++]=r[i++]；

while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到r1中

r1[p++]=r[j++]；

for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)

r[i]=r1[p]；//归并完成后将结果复制回r[low..high]

} //merge

四、归并排序

归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。下面说说自顶向下的方法

(1)分治法的三个步骤

设归并排序的当前区间是r[low..high]，分治法的三个步骤是：

①分解：将当前区间一分为二，即求分裂点

②求解：递归地对两个子区间r[low..mid]和r[mid+1..high]进行归并排序；

③组合：将已排序的两个子区间r[low..mid]和r[mid+1..high]归并为一个有序的区间r[low..high]。

递归的终结条件：子区间长度为1(一个记录自然有序)。

(2)具体算法

void mergesortdc(seqlist r，int low，int high)

{//用分治法对r[low..high]进行二路归并排序

int mid；

if(low

mid=(low+high)/2； //分解

mergesortdc(r，low，mid); //递归地对r[low..mid]排序

mergesortdc(r，mid+1，high)； //递归地对r[mid+1..high]排序

merge(r，low，mid，high)； //组合，将两个有序区归并为一个有序区

}

}//mergesortdc

(3)算法mergesortdc的执行过程

算法mergesortdc的执行过程如下图所示的递归树。

五、算法分析

1、稳定性

归并排序是一种稳定的排序。

2、存储结构要求

可用顺序存储结构。也易于在链表上实现。

3、时间复杂度

对长度为n的文件，需进行 趟二路归并，每趟归并的时间为o(n)，故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是o(nlgn)。

4、空间复杂度

需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果，故其辅助空间复杂度为o(n)，显然它不是就地排序。

注意：

若用单链表做存储结构，很容易给出就地的归并排序。

5、比较操作的次数介于(nlogn) / 2和nlogn - n + 1。

6、赋值操作的次数是(2nlogn)。归并算法的空间复杂度为：0 (n)

7、归并排序比较占用内存，但却是一种效率高且稳定的算法。

六、代码实现

public class mergesorttest {

public static void main(string[] args) {

int[] data = new int[] { 2, 4, 7, 5, 8, 1, 3, 6 };

system.out.print("初始化：\t");

print(data);

system.out.println("");

mergesort(data, 0, data.length - 1);

system.out.print("\n排序后: \t");

print(data);

}

public static void mergesort(int[] data, int left, int right) {

if (left >= right)

return;

//两路归并

// 找出中间索引

int center = (left + right) / 2;

// 对左边数组进行递归

mergesort(data, left, center);

// 对右边数组进行递归

mergesort(data, center + 1, right);

// 合并

merge(data, left, center, center + 1, right);

system.out.print("排序中:\t");

print(data);

}

/**

* 将两个数组进行归并，归并前面2个数组已有序，归并后依然有序

*

* @param data

* 数组对象

* @param leftstart

* 左数组的第一个元素的索引

* @param leftend

* 左数组的最后一个元素的索引

* @param rightstart

* 右数组第一个元素的索引

* @param rightend

* 右数组最后一个元素的索引

*/

public static void merge(int[] data, int leftstart, int leftend,

int rightstart, int rightend) {

int i = leftstart;

int j = rightstart;

int k = 0;

// 临时数组

int[] temp = new int[rightend - leftstart + 1]; //创建一个临时的数组来存放临时排序的数组

// 确认分割后的两段数组是否都取到了最后一个元素

while (i <= leftend && j <= rightend) {

// 从两个数组中取出最小的放入临时数组

if (data[i] > data[j]) {

temp[k++] = data[j++];

} else {

temp[k++] = data[i++];

}

}

// 剩余部分依次放入临时数组(实际上两个while只会执行其中一个)

while (i <= leftend) {

temp[k++] = data[i++];

}

while (j <= rightend) {

temp[k++] = data[j++];

}

k = leftstart;

// 将临时数组中的内容拷贝回原数组中 // (原left-right范围的内容被复制回原数组)

for (int element : temp) {

data[k++] = element;

}

}

public static void print(int[] data) {

for (int i = 0; i < data.length; i++) {

system.out.print(data[i] + "\t");

}

system.out.println();

}

}

七、运行结果

初始化： 2 4 7 5 8 1 3 6

排序中: 2 4 7 5 8 1 3 6

排序中: 2 4 5 7 8 1 3 6

排序中: 2 4 5 7 8 1 3 6

排序中: 2 4 5 7 1 8 3 6

排序中: 2 4 5 7 1 8 3 6

排序中: 2 4 5 7 1 3 6 8

排序中: 1 2 3 4 5 6 7 8

排序后: 1 2 3 4 5 6 7 8

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