6.3 符号微积分

6.3.1 符号序列的求和

【 * 例 6.3.1 -1 】求 ，

syms k t;f1=[t k^3];f2=[1/(2*k-1)^2,(-1)^k/k];

s1=simple(symsum(f1)) %f1 的自变量被确认为 t

s2=simple(symsum(f2,1,inf)) %f2 的自变量被确认为 k

s1 =

[ 1/2*t*(t-1), k^3*t]

s2 =

[ 1/8*pi^2, -log(2)]

6.3.2 符号微分和

矩阵

【 * 例 6.3.2 -1 】求

、

和

syms a t x;f=[a,t^3;t*cos(x), log(x)];

df=diff(f) % 求矩阵 f 对 x 的导数

dfdt2=diff(f,t,2) % 求矩阵 f 对 t 的二阶导数

dfdxdt=diff(diff(f,x),t) % 求二阶混合导数

df =

[ 0, 0]

[ -t*sin(x), 1/x]

dfdt2 =

[ 0, 6*t]

[ 0, 0]

dfdxdt =

[ 0, 0]

[ -sin(x), 0]

【 * 例 6.3.2 -2 】求

的

矩阵。

syms x1 x2 x3;f=[x1*exp(x2);x2;cos(x1)*sin(x2)];

v=[x1 x2];fjac=jacobian(f,v)

fjac =

[ exp(x2), x1*exp(x2)]

[ 0, 1]

[ -sin(x1)*sin(x2), cos(x1)*cos(x2)]

6.3.3 符号积分

6.3.3.3 符号积分示例

【 * 例 6.3.3 .3-1 】求

。演示：积分指令对符号函数矩阵的作用。

syms a b x;f=[a*x,b*x^2;1/x,sin(x)];

disp('The integral of f is');pretty(int(f))

The integral of f is

[ 2 3]

[1/ 2 a x 1/3 b x ]

[ ]

[ log(x) -cos(x) ]

【 * 例 6.3.3 .3-2 】求

。演示如何使用 mfun 指令获取一组积分值。

(1)求一般积分结果

F1=int('1/log(t)','t',0,'x')

F1 =

-Ei(1,-log(x))

(2)利用 mfun 指令求 x=0.5 , 0.6 , 0.7 , 0.8 , 0.9 时的定积分

x=0.5:0.1:0.9

F115=-mfun('Ei',1,-log(x))

x =

0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000

F115 =

-0.3787 -0.5469 -0.7809 -1.1340 -1.7758

【 * 例 6.3.3 .3-3 】求积分

。注意：内积分上下限都是函数。

syms x y z

F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2)

VF2=vpa(F2) % 积分结果用 32 位数字表示

F2 =

1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)

VF2 =

224.92153573331143159790710032805

【 * 例 6.3.3 .3-4 】利用 rsums 求

积分。(与例 6.3.3.3-2 结果比较)

syms x positive;px=0.5/log(0.5*x);rsums(px)

图 6.3.3 .3-4 交互式近似积分

6.3.4 符号卷积

【 * 例 6.3.4 -1 】本例演示卷积的时域积分法：已知系统冲激响应

，求

输入下的输出响应。

syms T t tao;ut=exp(-t); % 定义系统输入

ht=exp(-t/T)/T; % 定义系统冲激响应

uh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao); % 运用变量替换指令形成被积函数

yt=int(uh_tao,tao,0,t); % 实施卷积

yt=simple(yt)

yt =

-(exp(-t)-exp(-t/T))/(T-1)

【 * 例 6.3.4 -2 】本例演示通过变换和反变换求取卷积。系统冲激响应、输入同上例，求输出。

syms s;yt=ilaplace(laplace(ut,t,s)*laplace(ht,t,s),s,t);yt=simple(yt)

yt =

-(exp(-t)-exp(-t/T))/(T-1)

【 * 例 6.3.4 -3 】求函数

和

的卷积。

(1)在 5.2 版(配 Symbolic Math Toolbox 2.0.1 )中，采用以下指令。

syms t tao;ut=sym('Heaviside(t)-Heaviside(t-1)');ht=t*exp(-t);

yt=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,abs(t)-tao),tao,0,abs(t));

yt=collect(yt,'signum(abs(t)-1)'), yt=subs(yt,abs(t),t)%<3>

yt =

(-1/2+1/2*exp(-abs(t)+1)*abs(t))*signum(abs(t)-1)-exp(-abs(t))*abs(t)-exp(-abs(t))+1/2*exp(-abs(t)+1)*abs(t)+1/2

yt =

(-1/2+1/2*exp(-t+1)*t)*signum(t-1)-exp(-t)*t-exp(-t)+1/2*exp(-t+1)*t+1/2

(2) 5.3 版(配 Symbolic Math Toolbox 2.1 )中的运行指令和结果如下。

syms tao;t=sym('t','positive'); % 把 t 定义为限定性符号变量 <4>

ut=sym('Heaviside(t)-Heaviside(t-1)');ht=t*exp(-t);

yt53=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao),tao,0,t);

yt53=collect(yt53,'Heaviside(t-1)')

yt53 =

(-1+exp(1-t)*t)*Heaviside(t-1)+1+(-t-1)*exp(-t)