巴塞尔的问题说起来很简单。然而，它却让数学家们困惑了90年。28岁的物理学教授莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1734年发表了一个解决方案，引起了人们的关注。本篇就是欧拉的解决方案。

问题是：

正整数平方的倒数和是多少?

我们可以画出前10个部分和。这似乎是一个稳定的上升值。这个级数系列会一直上升吗？

你认为我们在多加10个部分和之后会在哪里结束呢？我们能越过红色虚线吗？

如下这个级数是调和级数。也许你在其他地方看到过，这个级数系列是不断发散的。它会继续增长。

巴塞尔问题的每一个项都小于它对应的调和级数项。部分和总是小于调和级数的和。

巴塞尔级数收敛的一个证明是将它与另一个我们很容易看到收敛的级数作比较。

上述级数系列：分母是1个1^1，2个2^2，4个4^2，8个8^2，所以可简化为1 +½+¼+⅛+…= 2，因此，我们知道巴塞尔级数问题最多收敛于2。

sinx的麦克劳林展开

一种技术(在欧拉时代相对较新的)涉及到将一个非多项式函数转换为无穷级数。

我们从解sin x的表达式开始:

我们要找出使这个表达式成立的系数，这样我们就可以预测aₙ的值。

第一个系数很简单，我们设x = 0，得到a0=0

为了求下一个系数，我们再次对x求导，在x=0处取值。

每次求导，我们都会发现另一个系数。这里出现了一种模式。我们需要增加一些项，来进一步了解。

如下图所示，我们每求一次导数，就会得到一个系数，这样不断循环下去，就会得到sinX无穷级数的所有系数

这句话被总结为:

对于巴塞尔问题，我们只需要x^3系数：

魏尔施特拉斯因式分解

欧拉的下一个工具是魏尔施特拉斯因式分解。这项技术还有待严格证明。然而，当欧拉将其应用于巴塞尔问题时，他得到了令人兴奋的结果。

我们可以用它的零(根)和一个比例因子来定义一个多项式函数。例如，任何一个二次方程都可以写成:

在这里，R1和R2是根。如果a为正，则抛物线开口向上；如果为负，则开口向下。顶点的位置由a唯一确定。

我们将对函数sinx做同样的处理，它的零点都采用相同的形式

因此:

但首先，我们需要确定常数a。

现在我们利用以下极限:

然后我们计算表达式的第二部分在x=0处的值。

我们把a的每一个因子分摊到sinx的因子中

我们把它展开，这会得到一个只有奇指数的多项式。我们想知道x^3的系数。

我们加入第四个项，如下图

同理：加入第五个因式得到

请记住：我们只是在寻找x^3的系数。每乘一次，我们加一项。

这是x^3的系数

麦克劳林展开式下x^3系数是6。我们让它们相等