最小二乘法
发布日期:2021-10-16 07:12:17 浏览次数:0 分类:技术文章
中文名称:最小二乘法 英文名称:least square method 定义:在残差满足VPV为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。其中V为残差向量,P为其权矩阵。

 我用括号把层次分开,简单的说就是: 让(((采样的点)跟(拟合的曲线)的距离)总和)最小. 楼上的说法有问题,不是非要直线不可,任何曲线都可以的. 最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中:a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。

 令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中

得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即:

 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出:

 a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即:数学模型。 在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断;“R”越趋近于 1 越好;“F”的绝对值越大越好;“S”越趋近于 0 越好。

 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数;Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一 最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定系数的方法称为最小二乘法.

 

 

 

 

判定系数也叫拟合优度、可决系数。表达式是:R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS该统计量越接近于1,模型的拟合优度越高。问题:在应用过程中发现,如果在模型中增加一个解释变量, R2往往增大这就给人一个错觉:要使得模型拟合得好,只要增加解释变量即可。——但是,现实情况往往是,由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关,R2需调整。这就有了调整的拟合优度:R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))在样本容量一定的情况下,增加解释变量必定使得自由度减少,所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度,以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中:n-k-1为残差平方和的自由度,n-1为总体平方和的自由度。总是来说,调整的判定系数比起判定系数,除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。 最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

 

 

 

在中,我们已经知道就是函数的变化率。对于我们同样要研究它的“变化率”。然而,由于多了一个,情况就要复杂的多。

在xOy内,当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时,函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数f(x,y)沿着平行于x轴平行于y轴两个特殊方位变动时,f(x,y)的变化率。

偏导数的算子符号为:



偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

定义

x方向的偏导

设有二元函数z=f(x,y),点(x0,y0)是其D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地

 

偏导数

函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z与△x之比当△x→0时的存在,那么此称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数(partial derivative)。记作f'x(x0,y0)。

y方向的偏导

函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,实际上就是把y固定在y0看成后,z=f(x,y0)

偏导数

在x0处的导数

同样,把x固定在x0,让y有△y,如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0,y0)

求法

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时,

我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导,那么称函数f(x,y)在域D可导。

此时,对应于域D的每一点(x,y),必有一个对x(对y)的偏导数,因而在域D确定了一个新的二元函数,

称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

几何意义

表示固定面上一点的

偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率;偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率。

高阶偏导数:如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。

二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy.

注意:f"xy与f"yx的区别在于:前者是先对x求偏导,然后将所得的偏导函数再对y求偏导;后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时,的结果与先后次序无关。

 

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