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矩阵分解与特征分析教程

本系列教程基于《基于MATLAB编程基础与典型应用》出版设计，内容来源于人民邮电出版社出版的教材，总页数为525页。教材内容基于MATLAB R2006a版本，可能存在与更高版本的功能差异，教材中的内容请以实际情况为准。

3.2 矩阵的分解

矩阵分解是矩阵运算中的重要内容，MATLAB提供了多种矩阵分解函数。本节将详细介绍MATLAB中用于矩阵分解的主要函数及其应用。

3.2.1 LU分解

LU分解是对矩阵进行三角分解的一种方法，其核心思想是将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A = LU。MATLAB提供了lu函数来实现这一功能。

示例：矩阵X的LU分解

在命令窗口中执行以下代码：

X = [5 3 4 8 5; 6 8 7 6 9; 2 6 8 2 1; 2 7 9 3 9; 4 5 6 7 8];[L, U] = lu(X);

3.2.2 奇异值分解

奇异值分解（SVD）是矩阵分析中的重要工具，MATLAB提供了svd函数来实现。该函数可以分解矩阵为三个矩阵：U、S和V，满足U'SV = X。

示例：矩阵b1的奇异值分解

在命令窗口中执行以下代码：

b1 = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 2 4 6; 5 7 5];[U, S, V] = svd(b1);

3.2.3 特征值分解

特征值分解是矩阵分析的重要内容，MATLAB提供了eig函数来实现。该函数可以返回矩阵的特征值及其对应的特征向量。

示例：矩阵A的特征值分解

在命令窗口中执行以下代码：

A = [1 2 3 4 5; 5 3 4 8 5; 6 8 7 6 9; 2 6 8 2 1; 2 7 9 3 9];[V, D] = eig(A);

3.2.4 Cholesky分解

Cholesky分解适用于对称正定矩阵，将其分解为上三角矩阵R和其转置R'，使得R' R = X。

示例：矩阵A的Cholesky分解

在命令窗口中执行以下代码：

A = [1 2 3 4 5; 5 3 4 8 5; 6 8 7 6 9; 2 6 8 2 1; 2 7 9 3 9];[R, p] = chol(A);

3.2.5 QR分解

QR分解将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A = QR。MATLAB提供了多种QR分解函数。

表3.7 矩阵QR分解函数

3.2.6 Schur分解

Schur分解将矩阵分解为正交矩阵U和Schur矩阵T，使得A = U T U'。MATLAB提供了schur函数来实现。

示例：矩阵K的Schur分解

在命令窗口中执行以下代码：

K = magic(3);[U, T] = schur(K);

3.2.7 复数特征值对角阵与实数块特征值对角阵的转换

实阵的特征值中可能包含复数，rsf2csf和cdf2rdf函数可以将实舒尔形式转换为复舒尔形式，反之亦然。

示例：矩阵B的特征值对角阵转换

在命令窗口中执行以下代码：

B = [5 3 4 8 5; 6 8 7 6 9; 2 6 8 2 1; 2 7 9 3 9; 4 5 6 7 8];[U, T] = schur(B);[U, T] = rsf2csf(U, T); % 将实舒尔形式转化为复舒尔形式

3.2.8 广义奇异值分解

广义奇异值分解（GVD）适用于矩阵的广义奇异值问题，MATLAB提供了gsvd函数来实现。

示例：矩阵AO的广义奇异值分解

在命令窗口中执行以下代码：

AO = [1 2 3 4 5 6 7 8; 2 3 4 5 6 7 8 9; 3 4 5 6 7 8 9 0];d = magic(3);[U, V, X, C, S] = gsvd(AO, d);

3.2.9 特征值问题的QZ分解

QZ分解用于解决广义特征值问题，MATLAB提供了qz函数来实现。

示例：矩阵A和B的QZ分解

在命令窗口中执行以下代码：

A = [1 2 3 4 5; 5 3 4 8 5; 6 8 7 6 9; 2 6 8 2 1; 2 7 9 3 9];B = [5 3 4 8 5; 6 8 7 6 9; 2 6 8 2 1; 2 7 9 3 9; 4 5 6 7 8];[AA, BB, Q, Z, V] = qz(A, B);

3.2.10 海森伯格形式的分解

海森伯格矩阵是对称矩阵的分解结果，MATLAB提供了hess函数来实现。

示例：矩阵A的海森伯格形式分解

在命令窗口中执行以下代码：

A = [1 2 3 4 5; 5 3 4 8 5; 6 8 7 6 9; 2 6 8 2 1; 2 7 9 3 9];[P, H] = hess(A);

作者：德特数据