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若要系统的研究树状数组,建议学习一下“二进制分解”“倍增”的概念。
简介
树状数组是一种可以在O(logn)内完成区间[1,n]的可加性询问(求和,求乘积),在O(logn)内完成单点数据修改的数据结构(以上两种为基本的操作)。
它的代码量小,常数较小,但是不支持求区间最值(可以使用线段树)。原理
其实树状数组的核心思想就是倍增,从根本上来说,树状数组是ST算法的强化版。
ST表主要处理的区间不可加性的问题,而与之类似的树状数组可以求得区间可加性问题。
模板:
int lowbit(int x){ return x&(-x);}int que_sum(int x){ int sum = 0; for( ; x > 0; x -= lowbit(x)) sum += val[x]; return sum;}void update(int x, int k){ for( ; x <= n; x += lowbit(x)) val[x] += k;}
区间操作可以使用差分,对于一个区间[l,r],我们先处理区间[1,l−1],在处理区间[1,r],然后做减法,就可以得到答案。
对于修改的操作,每次修改一个点,我们只要更新有覆盖这个点的信息段就好了,找到下一个覆盖数字x的信息段的方法是x+=lowbit(x),这样就可以把当前的最低位进位,那个数一定是覆盖修改点里面最小的,这样一直加到大于n就停止。
这个优化是树状数组对朴素倍增最根本的优化,因为二进制分解的唯一行,所以减少了维护的信息,使维护的信息支持修改,常数变的非常小。
预备函数[]
定义一个Lowbit函数,返回参数转为二进制后,最后一个1的位置所代表的数值.
例如,Lowbit(34)的返回值将是2;而Lowbit(12)返回4;Lowbit(8)返回8。
将34转为二进制,为0010 0010,这里的"最后一个1"指的是从{\displaystyle 2^{0}}位往前数,见到的第一个1,也就是{\displaystyle 2^{1}}位上的1.
程序上,((Not I)+1) And I表明了最后一位1的值,
仍然以34为例,Not 0010 0010的结果是 1101 1101(221),加一后为 1101 1110(222), 把 0010 0010与1101 1110作AND,得0000 0010(2).
Lowbit的一个简便求法:(C++)
int lowbit(int x){ return x&(-x);}
参考+推荐:
http://blog.csdn.net/yhf_2015/article/details/53844284
http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868
http://blog.csdn.net/x_iya/article/details/8943264
维基百科中的说法:
树状数组[]
树状数组或二叉索引树(英语:Binary Indexed Tree),又以其发明者命名为Fenwick树,最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩里的累积频率(Cumulative Frequency)的计算问题,现多用于高效计算数列的前缀和, 区间和。它可以以{\displaystyle O(\log n)}的时间得到任意前缀和{\displaystyle \sum _{i=1}^{j}a[i],1<=j<=N},并同时支持在{\displaystyle O(\log n)}时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度{\displaystyle O(n)}。
预备函数[]
定义一个Lowbit函数,返回参数转为二进制后,最后一个1的位置所代表的数值.
例如,Lowbit(34)的返回值将是2;而Lowbit(12)返回4;Lowbit(8)返回8。
将34转为二进制,为0010 0010,这里的"最后一个1"指的是从{\displaystyle 2^{0}}位往前数,见到的第一个1,也就是{\displaystyle 2^{1}}位上的1.
程序上,((Not I)+1) And I表明了最后一位1的值,
仍然以34为例,Not 0010 0010的结果是 1101 1101(221),加一后为 1101 1110(222), 把 0010 0010与1101 1110作AND,得0000 0010(2).
Lowbit的一个简便求法:(C++)
int lowbit(int x){ return x&(-x);}
新建[]
定义一个数组 BIT,用以维护{\displaystyle A}的前缀和,则:
{\displaystyle BIT_{i}=\sum _{j=i-lowbit(i)+1}^{i}A_{j}}
具体能用以下方式实现:(C++)
void build(){ for (int i=1;i<=MAX_N;i++) { BIT[i]=A[i]; for (int j=i-1; j>i-lowbit(i); j--) BIT[i]+=A[j]; }}//注:这里的求和将汇集到非终端结点(D00形式)//BIT中仅非终端结点i值是 第0~i元素的和//终端结点位置的元素和,将在求和函数中求得
修改[]
假设现在要将{\displaystyle A[i]}的值增加delta,
那么,需要将{\displaystyle BIT[i]}覆盖的区间包含{\displaystyle A[i]}的值都加上delta.
这个过程可以写成递归,或者普通的循环.
需要计算的次数与数据规模N的二进制位数有关,即这部分的时间复杂度是O(LogN)
修改函数的C++写法
void edit(int i, int delta){ for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j)) BIT[j] += delta;}
求和[]
假设我们需要计算{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}A_{i}}的值.
- 首先,将ans初始化为0,将i初始化为k.
- 将ans的值加上BIT[i]
- 将i的值减去lowbit(i)
- 重复步骤2~3,直到i的值变为0
求和函数的C/C++写法
int sum (int k){ int ans = 0; for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += BIT[i]; return ans;}
复杂度[]
初始化复杂度最优为{\displaystyle O(N)}
单次询问复杂度{\displaystyle O(\log N)},其中N为数组大小
单次修改复杂度{\displaystyle O(\log N)},其中N为数组大小
空间复杂度{\displaystyle O(N)}
应用[]
求逆序数[]
是一个数列中在它前面有比它大的个数。如4312的逆序数是0+1+2+2=5。
从第一个数开始遍历,每次在树状数组中查询有多少个数大于当前的数并加入计数器,之后把当前元素加入树状数组。
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