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在现实社会和工程领域、科学实验中，存在着各种各样的现象，有一类现象被称为确定性现象；另一类现象被称为不确定性现象，这些不确定性现象又可以归为两类：随机性现象和模糊性现象。

• 随机现象：在一定条件下可能发生种种不同结果的现象称为随机现象。；比如投掷一枚硬币，出现的结果可能是正面，也可能是反面。
• 模糊现象：模糊性指客观事物的差异在中介过渡中所呈现的“亦此亦彼”性，造成事物的结果不清晰。例如我们说气候冷热，体型胖瘦等概念，都具有含义不确切，边界不清晰等模糊性，这种有模糊性的现象叫模糊现象。

概率论和数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

本文主要讲解随机事件的概念，事件间的关系和运算；随机事件的概率定义，概率的性质。

1 随机事件

1,1概念

试验E的所有可能结果组成的集合为E的样本空间，记为S。样本空间的元素即试验E的每个可能结果称为样本点，记为e。由S中的一些样本点组成的集合称为随机试验E的随机事件，简称事件。

• 必然事件：在每次试验中必然发生的事件，称为E的必然事件。
• 不可能事件：在每次试验都不可能发生的事件，称为E的不可能事件。

1.2事件间的关系和运算

事件的包含与相等：

设有两个事件A和B，若事件A发生时B必发生，则称事件B包含事件A，或者事件A包含于事件B，记为A⊂B，也称A是B的子事件。

       若 A⊂B并且B⊂A，则称A，B两事件相等，记为A=B。

事件的和与积：

     事件A与事件B中至少有一个事件发生，称为A，B的和事件，记为A∪B。

       事件A与事件B同时发生，称为A，B的积事件，记为A∩B，简记为AB。

互不相容事件与对立事件：

若事件A与B不可能同时发生，即AB=∅，则称A与B为互不相容事件，也称为互斥事件。

          若事件B={A不发生}，则称B为A的对立事件，记为

事件的差：

事件A发生，事件B不发生，称为A与B的差事件，记为A-B。

事件关系的几何表示

事件的运算规律

交换律：A∪B=B∪A, AB=BA

结合律：A∪BUC=A∪(B∪C), (AB)C = A(BC)

分配率：A∪BC=(AC)∪(BC), AB∪C=(A∪C)(B∪C)

对偶率：

对于事件A，B， 若A⊂B，则有A∪B=B, A∩B=A

2随机事件的概率

2.1古典概型

定义

若随机试验具有以下两个特点：

1. 试验的可能结果只有有限个，即样本空间只包含有限个样本点
2. 每个试验结果在一次试验中出现的可能性是相同的

则称此类随机试验的概率模型为古典概型（或等可能概型）。

事件A的古典概率

古典概率有以下性质：

1. 对任意事件A，0≤P(A)≤1
2. 对于必然事件S，不可能事件∅，有P(S)=1, P(∅)=0
3. 对于互斥事件A,B， 即AB=∅, 有 P(A∪B)=P(A)+P(B)

2.2 概率定义

随机事件有一个重要特性：频率稳定性，即当试验次数充分大时，事件A出现的频率总在[0,1]区间的每个确定的常数p附近摆动。

概率的统计定义

设有试验E，若当试验的重复次数n充分大时，事件A发生的频率稳定的在某常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，记为P(A)=p

概率的公理化定义

设随机试验E的样本空间是S，对E的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，如果函数集合P(.),满足下列条件：

1. 非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1
3. 可列可加性：若事件A1, A2, …, An,… 两两互斥，即

则称P(.)为概率函数，简称概率，函数值P(A)称为事件A的概率。

2.3概率的性质

概率具有以下基本性质：

（1）对于任意事件A，有0≤P(A)≤1

（2）P(S)=1, P(∅)=0

（3）若事件A1, A2, …, An,… 两两互斥， 即则  

（4）对任意事件A，有P(A)=1-P(A)

  (5)  设A, B为两个随机事件，且 A⊃B,则P(A-B)=P(A)-P(B), P(A)>=P(B)

  (6)   设A,B为任意两个随机事件，则

        P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

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