浮点数(小数)在计算机中如何用二进制存储?
发布日期:2021-05-28 17:02:41 浏览次数:11 分类:技术文章

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浮点数在计算机中如何用二进制存储?

前言

前面我有篇博文详解了二进制数,以及如何同二进制数表示整数。但是,计算机处理的不仅仅是整数,还有小数,同样小数在计算机也是用二进制进行存储的,但是,二进制如何去存储小数呢?计算机对于小数的计算又是否真的丝毫不差呢?本文将进行介绍。

一、用二进制表示小数

二进制转换为十进制的方法就是各个位的数字位权乘积之和。二进制数小数点前面部分的位权,第 1 位是 2 的 0 次幂、第 2 位 是 2 的 1 次幂……以此类推。小数点后面部分的位权,第 1 位是 2 的-1次幂、第2位是2的-2次幂。以此类推。0次幂前面的位的位权 按照 1 次幂、2 次幂……的方式递增,0 次幂以后的位的位权按照-1 次幂、-2次幂……的方式递减。这一规律并不仅限于二进制数,在十 进制数和十六进制数中也同样适用。

如把1011.0011这个有小数点的二进制数转换成十进制数过程如下:
在这里插入图片描述

二、计算机并不是永远准确的

我们可以很快算出,0.1累加100次后的结果是10,但是计算机算出来结果是10吗?实际上它计算出的结果是10.0000002

#include 
void main(){ float sum; int i;// 将保存总和的变量清 0 sum = 0;//0.1 相加 100 次 for (i = 1; i <= 100; i++) { sum += 0.1f;}// 显示结果 printf("%f\n", sum); }

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  • 那么,这是为什么呢?计算机为什么会出错呢?道理也很简单,就如我们现实生活中使用的十进制数,有些数字我们也不能精确计算出来,比如1/3;同样,计算机用二进制表达数字,有些小数二进制也无法精确表达,比如十进制数0.1就无法用二进制数正确表达。

  • ,小数点后 4 位用二进制数表示时的数值范围为 0.0000~0.1111。因此,这里只能表示0.5、0.25、0.125、0.0625这四个 二进制数小数点后面的位权组合而成(相加总和)的小数。将这些数值 组合后能够表示的数值,如下表中所示的无序的十进制数。

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  • 由上表可见,十进制数0的下一位是0.0625。因此,这中间的小数, 就无法用小数点后4位数的二进制数来表示。同样,0.0625的下一位 数一下子变成了 0.125。这时,如果增加二进制数小数点后面的位 数,与其相对应的十进制数的个数也会增加,但不管增加多少位, 2 的-○○次幂怎么相加都无法得到0.1这个结果。实际上,十进制数 0.1 转换成二进制后,会变成 0.00011001100…(1100 循环)这样的 循 环小数 A。这和无法用十进制数来表示 1/3 是一样的道理。1/3 就是 0.3333…,同样是循环小数。

三、计算机中表示小数的二进制数是如何存储的呢?

像1011.0011这样带小数点的表现形式,完全是纸面上的二进制数 表现形式,在计算机内部是无法使用的。那么,实际上计算机是以什 么样的表现形式来处理小数的呢?

  • 很多编程语言中都提供了两种表示小数的数据类型,分别是双精度浮点数和单精度浮点数。双精度浮点数类型用64位、单精度浮点数类型用32位来表示全体小数。这些数据类型都采用浮点数 B 来表示小数。那么,浮点数究竟采用怎样的方式来表示小数 呢?

  • 浮点数是指用符号、尾数、基数和指数这四部分来表示的小数。

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  • 因为计算机内部使用的是二进制数,所以基数自然就是 2。因 此,实际的数据中往往不考虑基数,只用符号、尾数、指数这三部分 即可表示浮点数。也就是说,64位(双精度浮点数)和32位(单精度 浮点数)的数据,会被分为三部分来使用。

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符号部分、指数部分,尾数部分又是如何用二进制表达的呢?

  • 符号部分是指使用一个数据位来表示数值的符号。该数据位是1 时表示负,为0时则表示“正或者0”。这和用二进制数来表示整数时 的符号位是同样的。
  • 尾数部分用的是“将小数点前面 的值固定为1的正则表达式”
    **什么是正则表达式?**按照特定的规则来表示数据的形式即为正则表达式。是为了将小数的形式统一的一种规则,不然小数的表达形式太多了,计算机如何处理呢?就比如十进制的0.75如果没有规则,就会有无数种表达方式,如
    在这里插入图片描述
    因此,为了方便计算机处理,需要制定一个 统一的规则。例如,十进制数的浮点数应该遵循“小数点前面是0,小 数点后面第 1 位不能是 0”这样的规则。根据这个规则,0.75 就是 “0.75×10 的 0 次幂”,也就是说,只能用尾数部分是 0.75、指数部分 是0这个方法来表示。根据这个规则来表示小数的方式,就是正则表达式。
    同样的道理,二进制表示的小数,如果没有正则表达式(规则),那么也会有无数的形式。因此,我们使用的是“将小数点前面的值固定为1的正则表达 式”,来保证其形式的唯一。具体来讲,就是将二进制数表示的小数左移或右移(这里是逻辑 移位。因为符号位是独立的 B)数次后,整数部分的第1位变为1,第2位之后都变为0(这样是为了消除第2位以上的数位)。而且,第1位的 1在实际的数据中不保存。由于第1位必须是1,因此,省略该部分后就 节省了一个数据位,从而也就可以表示更多的数据范围(虽不算太多)。如二进制数1011.0011的尾数,根据正则表达式要变成如下形式进行保存。
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  • 指数部分用的则是“EXCESS系统表现
    EXCESS 系统表现是指,通过将指数部分表示范围的中间值设为0,使得负数不 需要用符号来表示。也就是说,当指数部分是 8 位单精度浮点数时, 最大值11111111 = 255的1/2,即01111111 = 127(小数部分舍弃)表示 的是0,指数部分是11位双精度浮点数时,11111111111 = 2047的1/2, 即01111111111 = 1023(小数部分舍弃)表示的是0。
    假设有这样一 个游戏,用1~13(A~K)的扑克牌来表示负数。这时,我们可以把中间的 7 这张牌当成 0。如果扑克牌 7 是 0,10 就表示+3,3 就表 示-4。事实上,这个规则说的就是EXCESS系统。

比如计算机是如何利用浮点数来表示十进制0.75的,我们可以通过代码进行验证

#include
#include
void main(){ //单精度浮点数计算机中二进制的表示方法(1位表示符号+8位表示指数(正则表达式)+23位表示尾部(EXCESS系统法)) float data; unsigned long buff; int i; char s[34]; // 将 0.75 以单精度浮点数的形式存储在变量 date 中 data=(float)0.75; // 把数据复制到 4 字节长度的整数变量 buff 中以逐个提取出每一位 memcpy(&buff,&data,4); // 逐一提取出每一位 for (i = 33; i >= 0; i--) { // 加入破折号来区分符号部分、指数部分和尾数部分 if (i==1||i==10) { s[i] = '-'; } else { // 为各个字节赋值 '0' 或者 '1' if (buff % 2 == 1) { s[i]='1'; } else { s[i]='0'; } buff/=2; } } s[34]='\0'; printf("%s\n",s);}

运行结果如下

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这里,符号部分为0,指数部分为 01111110,尾数部分为 10000000000000000000000。因为 0.75 是 正数,所以符号位是 0。指数部分的 01111110 是十进制数 126,用 EXCESS系统表现就是- 1(126- 127 = - 1)。根据正则表达式的规则, 小数点前面的第1位是1,因此尾数部分10000000000000000000000实 际上表示的是1.10000000000000000000000这个二进制数。将尾数部分 的二进制数转换成十进制数,结果就是(1 × 2的0次幂)+(1 × 2的-1次幂) = 1.5。因此,0-01111110-10000000000000000000000这个单精度 浮点数,表示的就是“+ 1.5 × 2的-1次幂”。2的-1次幂是0.5,+ 1.5 × 0.5 = + 0.75。正好吻合,结果正确。

如何避免计算机计算出错?

有两种方法:

第一、回避策略,即无视这些错误。
第二、把小数转换成整数来计算。例如,将0.1相加 100 次这一计算,就可以转换为将 0.1 扩大 10 倍后再将 1 相加 100 次的计算,最后把结果除以10就可以了。

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哈哈,博客排版真的漂亮呢~
[***.90.31.176]2024年02月28日 17时23分49秒