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Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L’s “Max Sum” problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence

$$

S

1

,

S

2

,

S

3

,

S

4

.

.

.

S

x

,

.

.

.

S

n

(

1

≤

x

≤

n

≤

1

,

000

,

000

,

−

32768

≤

S

x

≤

32767

)

S_1, S_2, S_3, S_4 ... S_x, ... S_n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767)

. We define a function

$$

s

u

m

(

i

,

j

)

=

S

i

+

.

.

.

+

S

j

(

1

≤

i

≤

j

≤

n

)

sum(i, j) = S_i + ... + S_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n)

.

Now given an integer

$$

m

(

m

>

0

)

m (m > 0)

, your task is to find m pairs of i and j which make

$$

s

u

m

(

i

1

,

j

1

)

+

s

u

m

(

i

2

,

j

2

)

+

s

u

m

(

i

3

,

j

3

)

+

.

.

.

+

s

u

m

(

i

m

,

j

m

)

sum(i_1, j_1) + sum(i_2, j_2) + sum(i_3, j_3) + ... + sum(i_m, j_m)

maximal (

$$

i

x

≤

i

y

≤

j

x

i_x ≤ i_y ≤ j_x

or

$$

i

x

≤

j

y

≤

j

x

i_x≤ j_y ≤ j_x

is not allowed).

But I`m lazy, I don’t want to write a special-judge module, so you don’t have to output m pairs of

$$

i

i

and

$$

j

j

, just output the maximal summation of

$$

s

u

m

(

i

x

,

j

x

)

(

1

≤

x

≤

m

)

sum(i_x, j_x)(1 ≤ x ≤ m)

instead.

Input

Each test case will begin with two integers

$$

m

m

and

$$

n

n

, followed by

$$

n

n

integers

$$

S

1

,

S

2

,

S

3

.

.

.

S

n

S_1, S_2, S_3 ... S_n

.Process to the end of file.

Output

Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 32 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

68

题意

将一个长度为

$$

n

n

的数组分成不相交的

$$

m

m

段，求这

$$

m

m

段的和的最大值

思路

状态：

$$

d

p

[

i

]

[

j

]

dp[i][j]

表示在前

$$

j

j

个数中取出

$$

i

i

段的最大和

状态转移方程：

$$

d

p

[

i

]

[

j

]

=

m

a

x

(

d

p

[

i

−

1

]

[

k

]

,

d

p

[

i

]

[

j

−

1

]

)

+

n

u

m

[

j

]

  

(

i

−

1

≤

k

≤

j

−

1

)

dp[i][j]=max(dp[i-1][k],dp[i][j-1])+num[j]\ \ (i-1\leq k \leq j-1)

由于

$$

m

m

范围未知，

$$

n

≤

1

0

6

n\leq 10^6

，所以二维的dp方程无论是在时间上还是在空间上都是不允许的。

那么我们就需要对这个方程进行优化：

不难发现当前状态只与两个状态有关：

1. 第
   $$
   j
   j
   个数和前
   $$
   j
   −
   1
   j-1
   个数在一段里
2. 第
   $$
   j
   j
   个数和前
   $$
   j
   −
   1
   j-1
   个数不在一段里。

根据这一点，我们把状态降成一维的数组，

$$

d

p

[

j

]

dp[j]

表示前

$$

j

j

个数分

$$

i

i

段时的最大和，然后用

$$

s

u

m

[

j

−

1

]

sum[j-1]

来表示状态一的前

$$

j

−

1

j-1

个数在前

$$

i

−

1

i-1

段的最大和，

$$

d

p

[

j

−

1

]

dp[j-1]

表示状态二的前

$$

j

−

1

j-1

个数在前

$$

i

i

段的最大和。

当前状态的转移方程为：

$$

d

p

[

j

]

=

m

a

x

(

d

p

[

j

−

1

]

,

s

u

m

[

j

−

1

]

)

+

n

u

m

[

j

]

dp[j]=max(dp[j-1],sum[j-1])+num[j]

，持续更新dp与sum数组的值

AC代码

#include 
   
    #include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        #include 
        
         #include 
         
        
       
      
     
    
   

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