本文共 5133 字，大约阅读时间需要 17 分钟。

如何理解“回溯算法”？

电影《蝴蝶效应》中，主人公为了达到自己的目标，一直通过回溯的方法，回到童年，在关键的岔路口，重新做选择。这里就运用了回溯算法。

笼统的讲，回溯算法很多时候都应用在“搜索”这类问题上，不过这里说的搜索，并不是狭义的指图的搜索算法，而是在一组可能的解中，搜索满足期望的解。

回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律枚举所有可能的解，避免遗落和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段，我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

应用

八皇后

比较经典的例子是八皇后问题。我们有一个 8x8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的放棋子方式。

int[] result = new int[8]; //下标表示行，值标签queue存储在哪一列    public void cal8queue(int row){
           if(row == 8){
    // // 8 个棋子都放置好了，打印结果            printQueue(result);            return;        }        for (int column = 0; column < 8;column++) {
    //每一行中都有8种放发            if(isOk(row, column)){
                   result[row] = column;  // 第 row 行的棋子放到了 column 列                cal8queue(row + 1);    // 考察下一行            }        }    }    private boolean isOk(int row, int column){
    // 判断row行column列放置是否合适        int leftup = column - 1, rightup = column + 1;        for (int i = row - 1; i >= 0 ; --i) {
    // 逐行往上考察每一行            if(result[i] == column){
    // 第i行的column列有棋子吗                return false;            }            if(leftup >= 0){
    // 考察左上角线：第i行leftup列有棋子吗？                if (result[i] == leftup) return false;            }            if (rightup < 8) {
    // 考察右上对角线：第 i 行 rightup 列有棋子吗？                if (result[i] == rightup) return false;            }            --leftup;            ++rightup;        }                return true;    }    private void printQueue(int [] result){
    // 打印出一个二维矩阵        for (int row = 0; row < 8; row++) {
               for (int column = 0; column < 8; column++) {
                   if(result[row] == column){
     // 放置了棋子                    System.out.print("Q ");                }else{
                       System.out.print("* ");                }            }        }    }

0-1背包

0-1背包是经典的算法问题，很多场景都可以抽象成这个问题模型。这个问题的经典解法是动态规划。不过还有一种简单但是没有那么高效的解法，就是回溯算法。

问题

我们现在有一个背包，背包总承载重量是Wkg，现在我们有n个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中，在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大。

ps：可以装某一个物品的一部分到背包里面的可以用贪心算法解决；而物品不可分割的，要么装要么不装（所以叫做0-1背包问题），这样的问题就无法用贪心算法来解决，可以用回溯算法解决。

分析

对于每个物品来说，都有两个选择，装进背包或者不装进背包。对于n个物品来说，总的装法就有$2^n$种，去掉总重量超过Wkg的，从剩下的装法中选择总重量最接近Wkg的。不过，我们如何才能不重复的穷举出这$2^n$种装法呢？

这里就可以用回溯的方法。我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了n个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先对第一个物品进行选择，选择装进去或者不装进去，然后在递归的处理剩下的物品。代码如下：

public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值    /*    * @param cw表示当前已经装进去的总理和    * @param i表示考察到哪个物品了    * @param items 待装的物品    * @param totalCount 物品个数（items的长度）    * @param totalWeight 背包可承受重量    * 假设背包中可以承受重量100，物品个数10，可以这样调用函数：    * f(0, 0, a, 10, 100);    * */    public void f(int i, int currWeight, int[] items, int totalCount, int totalWeight){
           if(currWeight == totalWeight || i == totalCount){
    // cw == w表示装满了；i == n表示已经考察完有的物品            if(currWeight > maxW){
                   maxW = currWeight; // 更新【存储背包中物品总重量的最大值】            }            return;        }        f(i + 1, currWeight, items, totalCount, totalWeight);  //当前物品不装进背包        // 如果当前还未超过最大值，则继续循环        if(currWeight + items[i] <= totalWeight){
               f(i+1,items[i] + currWeight , items, totalCount, totalWeight);  //当前物品装到背包里面        } // 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了    }

这里还稍微用到了一点搜索减枝的技巧，就是当发现已经选择的物品的重量超过Wkg之后，我们就停止继续探测剩下的物品。

正则表达式匹配

问题

正在表达式中，最重要的通配符就是回溯，通配符结合在一起，可以表达非常丰富的语义。这里假设正在表达式中只包含了*和?这两种通配符，并且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*”匹配任意多个（大于等于0个）任意字符，?匹配零个或者一个任意字符。那如何用回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配呢？

分析

我们依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，我们就直接跟文本的字符就那些匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。

如果遇到特殊字符的时候，我们就有很多种处理方式了，也就是所谓的“岔路口”，比如“*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去了，我们就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后再继续匹配剩下的字符。

代码实现

public class Pattern {
       private boolean matched = false;    private char[] pattern; //正则表达式    private int plen; //正则表达式长度    public Pattern(char [] pattern, int plen){
          this.pattern = pattern;       this.plen = plen;    }    public boolean match(char[] text, int tlen) {
    // 文本串及长度        matched = false;        rmatch(0, 0, text, tlen);        return matched;    }    private void rmatch(int ti, int pj, char []text, int tlen){
           if(matched){
     //如果已经匹配了，就不用在继续递归了            return;        }        if(pj == plen){
    // 正则表达式到结尾了            if(ti == tlen){
                   matched = true; //文本串也到结尾了            }            return;        }        // *匹配任意个字符        if(pattern[pj] == '*'){
               for (int k = 0; k < tlen - ti; k++) {
     // tlen为文本串的长度， ti为                rmatch(ti + k, pj + 1, text, tlen);            }        }else if (pattern[pj] == '?') {
    // ? 匹配 0 个或者 1 个字符            rmatch(ti, pj+1, text, tlen);            rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);        } else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) {
    // 纯字符匹配才行            rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);        }    }}

小结

回溯算法的思想非常简单，大部分情况下，都是用来解决广义的搜索问题，也就是，从一组可能的解中，选择处一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高回溯效率的一种技巧。利用剪枝，我们并不需要穷举搜索所有的情况，从而提高搜索效率。

尽管回溯算法的原理非常简单，但是可以解决很多问题，比如深度优先搜索、八皇后、0-1背包问题、图的着色、旅行商问题、数独、全排列、正在表达式匹配等等。

转载地址：https://blog.csdn.net/zhizhengguan/article/details/122685370 如侵犯您的版权，请留言回复原文章的地址，我们会给您删除此文章，给您带来不便请您谅解！