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什么是"搜索"算法？

我们知道，算法是作用于具体的数据结构上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图种找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。具体方法有很多，比如最简单最直接的深度优先、广度优先搜索，还有A*、IDA*等启发式搜索算法。深度优先搜索算法和广度优先搜索算法，既可以用在无向图，也可以用在有向图上。

下面以邻接表表示的无向图为例，学习深度优先搜索算法和广度优先搜索算法。其无向图实现如下：

package com.company;import java.util.Arrays;import java.util.LinkedList;public class Graph {
    //无向图    private int v; //顶点的个数    private LinkedList
   
     adj[]; // 邻接表    public Graph(int v){
           this.v = v;        adj = new LinkedList[v];        for (int i = 0; i < v; ++i){
               adj[i] = new LinkedList<>();        }    }    /**     * 添加边     *     * @param s 顶点     * @param t 顶点     */    public void addEdge(int s, int t){
    // 无向图一条边存两次        adj[s].add(t);        adj[t].add(s);    }     void printGraph() {
           for (int i = 0; i < v; i++) {
               System.out.println("Adjacency list of vertex " + i);            System.out.print("head");            for (Integer pCrawl : adj[i]) {
                   System.out.print(" -> " + pCrawl);            }            System.out.println("\n");        }    }    public static void main(String[] args) {
           Graph graph = new Graph(8);        graph.addEdge(0,1);        graph.addEdge(0,1);        graph.addEdge(0,3);        graph.addEdge(1,2);        graph.addEdge(1,4);        graph.addEdge(2,5);        graph.addEdge(4,5);        graph.addEdge(4,6);        graph.addEdge(5,7);        graph.addEdge(6,7);        graph.printGraph();    }}
   

广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索（Breadth-First-Search），我们平常都把简称为 BFS。直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。

代码实现如下，我们搜索一条从 s 到 t 的路径。实际上，这样求得的路径就是从 s到 t 的最短路径：

/*    * @param s 起始顶点    * @param s 终止顶点    * */    public void bfs(int s, int t){
           if(s == t){
               return;        }        /*        * visited是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。        * 如果顶点 q 被访问，那相应的 visited[q] 会被设置为 true。        * */        boolean [] visited = new boolean[v]; //v为顶点个数        visited[s] = true; // 起始顶点(已经被访问过)设为true        /*        * queue是一个队列，用来存储已经被访问，但相连的顶点还没有被访问        * 的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第k层        * 的顶点都访问完成之后，才能访问第k+1层的顶点。当我们访问到第k层        * 的顶点的时候，我们需要把第k层的顶点记录下来，稍后才能通过第k层        * 的顶点来找第k+1层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能        * */        Queue
   
     queue = new LinkedList<>();        queue.add(s);        /*        * prev用来记录搜索路径。当我们从顶点s开始，广度优先搜索到订单t之        * 后，prev数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。        * prev[w]存储的是，订单w是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们        * 通过顶点2的邻接表访问到顶点3，那prev[3]就等于2.为了正向打印        * 出路径，我们需要递归的来打印，也就是调用print()函数        * */        int[] prev = new int[v];        for (int i = 0; i < v; i++){
               prev[i] = -1;        }        while (queue.size() != 0){
               int w = queue.poll();            for (int i = 0; i < adj[w].size(); ++i){
                   int q = adj[w].get(i);                if(!visited[q]){
                       prev[q] = w;                    if(q == t){
                           print(prev, s, t);                        return;                    }                }                visited[q] = true;                queue.add(q);            }        }    }
   

• 最坏情况下，终止顶点t离起始顶点s很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次。所以，广度优先搜索的时间复杂度是O(V+E)，其中V表示顶点的个数，E表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)
• 广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)。

深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First-Search），简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走，走着走着发现走不通的时候，你就回退到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。

走迷宫的例子很容易能看懂，我们现在再来看下，如何在图中应用深度优先搜索，来找某个顶点到另一个顶点的路径。

如下图。搜索的起始顶点是s，终止顶点是t。我们希望在图中寻址一条从顶点s到顶点t的路径。如果映射到迷宫那个例子，s 就是你起始所在的位置，t 就是出口。

下图为深度递归算法找到的整个搜索的路径。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径

上面的过程用递归翻译出来就是下面这个样子。我们可以看出，深度优先搜索代码实现也用到了prev、visited变量以及print函数，它们跟广度优先搜索代码实现的作用是一样的。不过，深度优先搜索代码实现里面，有关比较特殊的变量found，它的作用是，当我们已经找到终止顶点t之后，我们就不再递归的继续查找了

boolean found = false;    private void recurDfs(int w, int t, boolean[]vistied, int[] prev){
           if(found == true){
               return;        }        vistied[w] = true;        if(w == t){
               found = true;            return;        }        for (int i = 0; i < adj[w].size(); i++) {
               int q = adj[w].get(i);            if(!vistied[q]){
                   prev[q] = w;                recurDfs(q, t, vistied, prev);            }        }    }    public void dfs(int s, int t){
           found = false;        boolean[] vistied = new boolean[v];        int []prev = new int[v];        for (int i = 0; i < v; i++) {
               prev[i] = -1;        }        recurDfs(s, t, vistied, prev);        print(prev, s, t);    }

我们来看，深度度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？

• 从上面图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回溯。所以，时间复杂度是O(E)，E表示边的个数
• 深度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是 O(V)

如何找出社交网络中的三度好友关系？

社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决。因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边数为 3 的顶点，也就是三度好友关系。

小结

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如 A*、IDA* 等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索

• 广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层次推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是起始顶点到终止顶点的路径。
• 深度优先搜索，利用的是回溯的思想，非常适合用递归来实现。也就是说，深度优先搜索是借助栈来实现的。

在执行效率方面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是 O(E)，空间复杂度是O(V)

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