CINTA作业七:同态
发布日期:2022-03-08 21:50:35 浏览次数:3 分类:技术文章

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一、如果 H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2是群G的正规子群,证明 H 1 H 2 H_1H_2 H1H2也是群G的正规子群

由于 H 1 H_1 H1 H 2 H_2 H2是群G的正规子群,所以对任意g∈G,有 g H 1 H 2 = H 1 g H 2 = H 1 H 2 g gH_1H_2=H_1gH_2=H_1H_2g gH1H2=H1gH2=H1H2g,所以 H 1 H 2 H_1H_2 H1H2也是群G的正规子群

二、定义映射 ϕ \phi ϕ:G → \rightarrow G为:g → g 2 \rightarrow g^2 g2。请证明 ϕ \phi ϕ是一种同态当且仅当G是阿贝尔群

充分性:

如果 ϕ \phi ϕ是一种同态,则对于任意a,b∈G,有 ϕ ( a b ) = ( a b ) 2 = ϕ ( a ) ⋅ ϕ ( b ) = a 2 b 2 \phi(ab)=(ab)^2=\phi(a)·\phi(b)=a^2b^2 ϕ(ab)=(ab)2=ϕ(a)ϕ(b)=a2b2
所以 ( a b ) 2 = a b a b = a a b b = a 2 b 2 (ab)^2=abab=aabb=a^2b^2 (ab)2=abab=aabb=a2b2,满足交换律,所以G是阿贝尔群
必要性:
如果G是阿贝尔群,则群G满足交换律
ϕ ( a b ) = ( a b ) 2 = a 2 b 2 = ϕ ( a ) ⋅ ϕ ( b ) \phi(ab)=(ab)^2=a^2b^2=\phi(a)·\phi(b) ϕ(ab)=(ab)2=a2b2=ϕ(a)ϕ(b)
所以映射 ϕ \phi ϕ是同态

三、证明:如果H是群G上指标为2的子群,则H是G的正规子群

由题意可得[H:G]=2

当g∈H时,gH=Hg=H
当g∉H时,gH≠H,Hg≠H,所以gH=Hg=G-H
得证

四、给定任意群G,H是群G的正规子群。请证明:如果群G是循环群,则商群G/H也是循环群

只需证明∀g∈G,有 ( g H ) n = g n H (gH)^n=g^nH (gH)n=gnH

当 g 是 G 的 生 成 元 时 , g n g ^n gn也 能 生 成 G , 所 以 商 群 中 所 有 元 素 都 能 由 g n H g^nH gnH 生成

故gH是群G / H的生成元,则群G/H是循环群,命题得证

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