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一、心算列举出$Z_{10}$的所有生成元

$Z_{10}$的阶为$\varphi (10)$=| {1,3,7,9 } |=4

二、群$Z_{17}^{\ast }$有多少个生成元，已知3是其中一个生成元，请问9和10是否为生成元？

因为17是素数，故$Z_{17}^{\ast }$的生成元个数为$\varphi$(17-1)=8

· 9是否为生成元？

$9\equiv 3^{2}mod(17)$，故 $k=2，d=gcd(k,n)=gcd(2,16)=2$

$h=n/d=16/2=8$

\quad 故9不是生成元

· 10是否为生成元？

$10\equiv 3^{3}mod(17)$，故$k=3,d=gcd(k,n)=gcd(3,16)=1$

$h=n/d=16/1=16$

\quad 故10是生成元

三、证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群

证明：

四、证明：有限循环群G中任意元素的阶都能整除群G的阶

由命题7.5可得，如果群G=< g >是阶为n的循环群，如果h=$g^k$，则h的阶为$n/gcd(k,n)$

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