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什么是动态规划:
其本质就是利用申请的空间来记录每一个暴力搜索的计算结果,下次要用结果的时候就直接使用,而不是进行重复的递归过程。
1.动态规划学习步骤:
(1)阅读题目找出所需的暴力求解方法(递归调用)。
注:要学会递归调用的关系。
(2)根据题目加入相应的记忆数组,来存储递归过程中访问过的结点。使其重复的过程大大减少。(记忆化的暴力求解方法)
(3)而后演变到有规律的进行访问,将访问的结点保存。知道得出结果。
(4)由于步骤三中访问过程是有规律的,使得进一步化简得到可能。在寻找好的方法(时间和空间)。
相关习题的练习:
2.动态规划的题目设计:
(1)此题目来源于北大POJ
数字三角形(POJ1163)
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径,使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可,不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100,数字为 0 - 99
输入格式:
5 //表示三角形的行数 接下来输入三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求输出最大和
分析思路:首先想到暴力搜索:
用Data[i][j]来存储第i行第j列的数;Max_serch(x,y)表示从x行,y列到底地边个点的路径中,路径之和最大的。则可以通过Max_serch(0,0)递归得到。因为从Data[i][j]出发只能到Data[i+1][j]或Data[i+1][j+1].递归关系式:
(1)i或者j为底边行或者列,这就返回Data[i][j].
(2)否则就Max_serch(i,j)=max(Max_serch(i+1,j),Max_serch(i+1,j+1))+Data[i][j]。
代码:
int Max_serch(int x,int y){ if(x==n-1||y==n-1){ return Data[x][y]; }else{ return max(Max_serch(x+1,y),Max_serch(x+1,y+1))+Data[x][y]; } }
动态过程:
此时访问的过程没有记忆化,所以会出现大量的重复搜索。
例如:当我们计算第二行2时候的Max_serch()会计算从7开始的Max_serch(),当我们计算第二行4时候的Max_serch()也会计算从7开始的Max_serch(),所以出现重复的时候。
C此时想到,引入一个二维数组,将访问过的点存储起来,以便减少访问次数(递归时直接读取数据)。
自然而然引出来记忆化暴力搜索:
程序:
int Max_serch(int x,int y){ memset(Temp,0,sizeof(Temp)); if(Temp[x][y]!=0){ return Temp[x][y]; } if(x==n-1||y==n-1){ return Data[x][y]; }else{ Temp[x][y]=max(Max_serch(x+1,y),Max_serch(x+1,y+1))+Data[x][y]; } return Temp[x][y];}
进一步考虑有没有更好的方法:将临时存储数据的Temp[x][y]数组:存储的是第x行,第y列最优的解,那么最底一行存的一定是Data[x][y]的数据,那么问题就变成了由下到上逐步求解了。
(1).#includeusing namespace std;int Data[101][101]; int Temp[101][101];int n;int Max_serch(){ memset(Temp,0,sizeof(Temp)); if(n==1) return Data[0][0]; for(int i=n-1,j=0;j =0;k--){ for(int j=k;j>=0;j--){ Temp[k][j]=max(Temp[k+1][j],Temp[k+1][j+1])+Data[k][j]; } } return Temp[0][0];}int main(){ cin>>n; for(int i=0;i >Data[i][j]; } } int sum; sum=Max_serch(); cout< <
在最后进行分析不难发现还可以进一步优化(空间优化),那就是将临时变量Temp都不需要只需要一行数组就行,用原始的Data数据中最右列存储。
int Max_serch(){ if(n==1) return Data[0][0]; for(int i=0;i=0;k--){ for(int j=0;j<=k;j++){ Data[j][n-1]=max(Data[j][n-1],Data[j+1][n-1])+Data[k][j]; } } return Data[0][n-1];}
程序:
此外学习动态规划的典型应用也是很有必要的,对于常见的类型我们要直接记住动态规划的方法(最优二叉搜索树,最长公共子序列,钢条切割)
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