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描述

Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。因此，Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

最近正好用到bloomfilter，所以查询了些资料，整理如下，本文将从原理与数学公式等角度进行讲述，涉及到基本初等函数、微积分与概率论的知识，相关的知识请各位自行获取，本文默认各个读者有一定的数学基础。

算法描述

bloom filter是一个有m bits的bit array，每一个bit位都初始化为0。并且定义有k个不同的hash function，每个都以uniform random distribution将元素hash到m个不同位置中的一个。n为要添加到bloomfilter里面的元素。p为错误率。所以相关的参数为：m n k p（后续详细说明）

很多人说，后端工程师是“添删改查”工程师，那么我也不能免俗，下面从“添删改查”角度来进行阐述：

1. 添加过程：首先，用k个hash function将它hash得到bloom filter中k个bit位，之后将这k个bit位置1。

2. 查询过程：即判断它是否在集合中，用k个hash function将它hash得到k个bit位。若这k bits全为1，则此元素在集合中；若其中任一位不为1，则此元素比不在集合中

3. 删除过程：不允许remove元素，因为那样的话会把相应的k个bits位置为0，而其中很有可能有其他元素对应的位。因此remove会引入false negative，这是绝对不被允许的。

4. 修改过程：删除都不允许了，修改更不允许，读者自行脑补吧。

误判率计算和证明

下面高潮来了，用数学公式来进行推倒证明：假设布隆过滤器中的hash function使每个元素都等概率地hash到m个slot中的任何一个，与其它元素被hash到哪个slot无关（独立性）。若m为bit数，则对某一特定bit位在一个元素由某特定hash function插入时没有被置位为1的概率为：

从上式中可以看出，当m增大或n减小时，都会使得误判率减小，这也符合直觉。

现在计算对于给定的m和n，k为何值时可以使得误判率最低。设误判率为k的函数为：

这说明了若想保持某固定误判率不变，布隆过滤器的bit数m与被add的元素数n应该是线性同步增加的。

三 如何设计bloomfilter

首先，需要确定需要add的元素的个数与希望的误差率，这个是整个系统需要输入的参数，其他的参数有系统自动计算，并且建立bloomfilter。

此概率为某bit位在插入n个元素后未被置位的概率。因此，想保持错误率低，布隆过滤器的空间使用率需为50%。

bloomfilter的各个参数的错误率

总结

公式推完了，大家可以看看，里面的数学公式基本用到了指数函数 对数函数 微积分求导法则 概率论的知识，大家可以补充看下课本。

参考文章

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